ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: für alle k=0,1,...,n gilt:
[mm] 0\le \bruch{1}{k!}- \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{(k-1)^2}{k!n} [/mm] |
Hallo! wollte mal fragen ob man das überhaupt mit Induktion zeigen kann weil beim Übergang von n auf n+1 stünde ja [mm] \vektor{n \\ n+1} [/mm] da was ja nicht geht meines wissens nach. ist hier ein induktionsbew. überhaupt sinnvoll?danke für die antworten :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Sa 16.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Sepp,
wo ist das Problem? In der Induktionsbehauptung musst du zeigen:
Für alle [mm] $k=0,1,\dots,n+1$ [/mm] gilt:
[mm]0\le \bruch{1}{k!}- \vektor{n+1 \\ k} \bruch{1}{(n+1)^{k}} \le \bruch{(k-1)^2}{k!(n+1)}[/mm]
vg Luis
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achja. und wie zeig ich dass dies gilt? gibts da einen trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Sa 16.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich glaube du hast in deinem Induktionsbeweis k und n verwechselt. n ist hier ein fester Parameter. Du musst von k auf k+1 schließen, nicht von n auf n+1.
Allerdings geht der Beweis der linken Ungleichung
[mm] 0 \le \bruch{1}{k!} \vektor{n\\k} \bruch{1}{n^k} \gdw \vektor{n\\k} \bruch{1}{n^k} \le \bruch{1}{k!} [/mm]
einfacher direkt durch Einsetzen der Definition von [mm] $\vektor{n\\k}$.
[/mm]
Schreib doch mal auf, was du hast.
Viele Grüße
Rainer
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nach einsetzen der definition bekomme ich nach etwas umstellen für die linke seite folgendes: [mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \le [/mm] 1
jetzt müsste ich nur noch zeigen dass das größer 1 ist oder? aber wie? oder muss ich jetzt den induktionsbew. führen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> nach einsetzen der definition bekomme ich nach etwas
> umstellen für die linke seite folgendes:
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \le 1[/mm]
> jetzt müsste ich nur noch zeigen dass das größer 1 ist
Richtig.
> oder? aber wie? oder muss ich jetzt den induktionsbew.
> führen??
Überlege dir Folgendes: $n!$ lässt sich durch $(n-k)!$ teilen, da bleiben genau $k$ Faktoren
[mm] n* (n-1) * (n-2) * \cdots \ * (n-k+1) [/mm]
übrig.
Viele Grüße
Rainer
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