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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Mo 21.11.2005 | | Autor: | sole |
Hi kann mir jemand viellaicht bei dem Beweis der folgenden Ungleichung einen Tipp geben?
[mm] ||(A+M)^{-1}-A^{-1}|| \le ||M||*||A^{-1}||*||(I+A^{-1}M)^{-1}||*||A^{-1}||
[/mm]
A,M sind zwei (N x N) - Matrizen, die Inversen sollen existieren, die Norm soll submultiplikativ sein, also würde es genügen zu zeigen dass
[mm] ||(A+M)^{-1}-A^{-1}|| \le ||M||*||A^{-1}||*||(A+M)^{-1}||
[/mm]
aber hier komme ich dann leider nicht mehr weiter.
Vielen dank! ~sole
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Hallo sole!
Bei solchen Aufgaben holt man sich am besten eine Idee, indem man erstmal den Spezialfall der reellen Zahlen betrachtet. Also angenommen, [mm] $a,m\in\IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\bruch 1{a+m}-\bruch 1a=\bruch{a}{a(a+m)}-\bruch{a+m}{a(a+m)}=-\bruch{m}{a(a+m)}$.
[/mm]
Insbesondere ist also [mm] $\left|\bruch 1{a+m}-\bruch 1a\right|\le \left|m\right|\cdot \left|\bruch 1{a}\right|\cdot \left|\bruch 1{a+m}\right|$.
[/mm]
Wendet man diese Idee jetzt auf Matrizen an, so erhält man:
[mm] $(A+M)^{-1}-A^{-1}=A^{-1}A(A+M)^{-1}-A^{-1}(A+M)^{-1}(A+M)=A^{-1}\big[A-(A+M)\big](A+M)^{-1}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mo 21.11.2005 | | Autor: | sole |
super danke! Ich wusste wirklich nicht wie ich den Beweis angehen sollte...hat mir sehr weitergeholfen!
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