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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 15.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Beweise:
[mm] $\frac{1}{2^{2n}}\vektor{2n\\ n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ [/mm] |
Hallo,
[mm] $\Gamma [/mm] (n)= (n-1)!$
nur damit müsste ich auf das kommen:
[mm] $\vektor{2n \\ n} [/mm] = [mm] \frac{2^{2n}\Gamma (n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma (n+1)}$ [/mm]
Wie komme ich hierher?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Beweise:
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> [mm]\frac{1}{2^{2n}}\vektor{2n\\ n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}[/mm]
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> Hallo,
>
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> [mm]\Gamma (n)= (n-1)![/mm]
>
> nur damit müsste ich auf das kommen:
>
> [mm]\vektor{2n \\ n} = \frac{2^{2n}\Gamma (n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma (n+1)}[/mm]
>
> Wie komme ich hierher?
Schreibe
[mm]\pmat{2n \\ n}=\bruch{\left(2n\right)!}{n!*n!}=\bruch{\Gamma\left(2n+1\right)}{\Gamma\left(n+1\right)*\Gamma\left(n+1\right)}[/mm]
Verwende dann die ![[]](/images/popup.gif) Legendresche Verdopplungsformel auf [mm]\Gamma\left(2n+1\right)[/mm] an.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 15.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
[mm] $\frac{(n-1)!}{n!}<\frac{(n-0.5)!}{n!}< \frac{n!}{n!}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\pi} n}< \frac{1}{\sqrt{\pi n}} [/mm] < [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{(n-\frac{1}{2})!}{\sqrt{\pi}n!} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \frac{\Gamma (n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma (n+1)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2^{2n}}\frac{2^{2n}\Gamma (n+\frac{1}{2}}{\sqrt{\pi} \Gamma (n+1)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2^{2n}}\frac{\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{1}{2^{2n}}\vektor{2n\\ n}$
[/mm]
Reicht das als Beweis?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
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> [mm]\frac{(n-1)!}{n!}<\frac{(n-0.5)!}{n!}< \frac{n!}{n!}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\pi} n}< \frac{1}{\sqrt{\pi n}} < \frac{1}{\sqrt{\pi}}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \frac{(n-\frac{1}{2})!}{\sqrt{\pi}n!}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \frac{\Gamma (n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma (n+1)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2^{2n}}\frac{2^{2n}\Gamma (n+\frac{1}{2}}{\sqrt{\pi} \Gamma (n+1)}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2^{2n}}\frac{\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+1)} = \frac{1}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{1}{2^{2n}}\vektor{2n\\ n}[/mm]
>
>
> Reicht das als Beweis?
>
Ausgangspunkt war doch
[mm]\pmat{2n \\ n }=\frac{\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+1)}=\frac{2^{2n}\Gamma (n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma (n+1)}[/mm]
An irgendeiner Stelle mußt Du eine Näherung einbringen.
>
> > Gruss
>
> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 15.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Ich habe nach oben und nach unten abgeschätzt mit (n-1)! und n!, gilt das nicht als Näherung?
Muss ich die Sterling-Formel verwenden?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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> Muss ich die Sterling-Formel verwenden?
> kushkush
Hallo kushkush,
die Aufgabe verlangt wohl nur die Anwendung der
Stirling-Formel (in ihrer einfachsten Form).
Fragt sich natürlich, ob diese in einem "Beweis"
einfach so verwendet werden darf, ohne sie selber
zu begründen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 16.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Al-Chwarizmi,
[mm] $\frac{\Gamma ( n+\frac{1}{2})}{\sqrt { \pi} \Gamma (n+1)} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{n} \Gamma(n) }{\sqrt{\pi} n\Gamma(n) } [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$
[/mm]
Also war ja gar keine Näherung nötig.... ?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
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> [mm]\frac{\Gamma ( n+\frac{1}{2})}{\sqrt { \pi} \Gamma (n+1)} = \frac{\sqrt{n} \Gamma(n) }{\sqrt{\pi} n\Gamma(n) } = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}[/mm]
Woraus folgt Die Beziehung
[mm]\Gamma ( n+\frac{1}{2})=\sqrt{n} \Gamma(n) [/mm]
?
>
> Also war ja gar keine Näherung nötig.... ?
>
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> > LG
>
> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mi 16.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Woraus folgt Die Beziehung
Ah...
Danke.
Gruss
kushkush
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