unendliche Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
e^{1/x^{2}}, & \mbox{wenn }x\not= 0\mbox{ } \\
0, & \mbox{wenn }x =0\mbox{}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeigen sie, dass f bei 0 unendlich oft differenzierbar ist mit [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Hey,
es geht um die oben aufgeschriebene Aufgaben. Ich Büchern etc. lese ich zu dieser Aufgabe den Hinweis, dass man dazu einfach zeigen soll, dass für x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] f^{(n)}(x)= P_{3n}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2} [/mm] , wobei [mm] P_{3n} [/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist.
Jetzt habe ich mich an diesem Beweis versucht, komme aber nicht so wirklich weiter. denn ich frage mich schon, wie (1/x) also Faktor zustande kommt. Denn Die Ableitung von [mm] e^{-1/x^2} [/mm] ist doch [mm] =(2/x^3) *e^{-1/x^2}
[/mm]
und Wie zeige ich die oben stehende Gleichung? per Induktion vielleicht?
dann erhalte ich ja:
[mm] f^{(n+1)}(x)= P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}
[/mm]
so wirklich weiter hilft mir das allerdings auch nicht, da ich auch nciht genau weiß an welcher Stelle ich dann die Induktionsvorschrift einsetze..
PS: Dass die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit überhaupt differenzierbar ist weiß ich
LG
Anna
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Hallo,
meinst du das so (man kann es schier nicht entziffern!):
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & \textrm{für } x\ne{0} \\ 0, & \textrm{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
?
Ich nehme es mal an...
> Hey,
> es geht um die oben aufgeschriebene Aufgaben. Ich Büchern
> etc. lese ich zu dieser Aufgabe den Hinweis, dass man dazu
> einfach zeigen soll, dass für x [mm]\not=[/mm] 0 [mm]f^{(n)}(x)= P_{3n}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
> , wobei [mm]P_{3n}[/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist.
>
> Jetzt habe ich mich an diesem Beweis versucht, komme aber
> nicht so wirklich weiter. denn ich frage mich schon, wie
> (1/x) also Faktor zustande kommt.
Wo kommt der Faktor vor? Es kommt laut Hinweis der [mm] Faktor P_{3n}\left(\bruch{1}{x}\right) vor [/mm] und dein ermittelter (korrekter) Vorfaktor bei der ersten Ableitung entspricht doch dieser Forderung exakt.
> Denn Die Ableitung von
> [mm]e^{-1/x^2}[/mm] ist doch [mm]=(2/x^3) *e^{-1/x^2}[/mm]
> und Wie zeige ich
> die oben stehende Gleichung? per Induktion vielleicht?
Ja, genau daran ist gedacht.
> dann erhalte ich ja:
> [mm]f^{(n+1)}(x)= P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
> so
> wirklich weiter hilft mir das allerdings auch nicht,
Dann musst du ein wenig mehr über deine Resultate nachdenken. Es ist
3n+3=3(n+1)
und das sollte doch genau dein Ziel beim Induktionschluss gewesen sein.
> da ich
> auch nciht genau weiß an welcher Stelle ich dann die
> Induktionsvorschrift einsetze..
>
> PS: Dass die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit überhaupt
> differenzierbar ist weiß ich
Das ist aber nur eine notwendige Bedingung! Außerdem bist du noch nicht fertig. Du musst für die n.te Ableitung immerhin noch begründen, dass für x->0 der links- und rechtsseitige Grenzwert ebenfalls gleich Null sind. Die Begründung ist einfach, aber immerhin gehört sie dazu!
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> meinst du das so (man kann es schier nicht entziffern!):
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & \textrm{für } x\ne{0} \\ 0, & \textrm{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> ?
ja genau, tut mir leid. Latexx und ich kommen nicht immer auf den selben Nenner :-P
>
> > etc. lese ich zu dieser Aufgabe den Hinweis, dass man
> dazu
> > einfach zeigen soll, dass für x [mm]\not=[/mm] 0 [mm]f^{(n)}(x)= P_{3n}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
>
> > , wobei [mm]P_{3n}[/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist.
> >
> > Jetzt habe ich mich an diesem Beweis versucht, komme
> aber
> > nicht so wirklich weiter. denn ich frage mich schon,
> wie
> > (1/x) also Faktor zustande kommt.
>
> Wo kommt der Faktor vor? Es kommt laut Hinweis der
> [mm]Faktor P_{3n}\left(\bruch{1}{x}\right) vor[/mm] und dein
> ermittelter (korrekter) Vorfaktor bei der ersten
> Ableitung entspricht doch dieser Forderung exakt.
Aber was hat das mit dem Polynom vom Grad 3n zu tuen? Denn [mm] (1/x)*(2/x^{2}) [/mm] z.B. (im Falle der ersten Ableitung) enthält doch kein Polynom vom dritten Grad
>
> > Denn Die Ableitung von
> > [mm]e^{-1/x^2}[/mm] ist doch [mm]=(2/x^3) *e^{-1/x^2}[/mm]
> > und Wie
> zeige ich
> > die oben stehende Gleichung? per Induktion vielleicht?
>
> Ja, genau daran ist gedacht.
>
> > dann erhalte ich ja:
> > [mm]f^{(n+1)}(x)= P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
> > so
> > wirklich weiter hilft mir das allerdings auch nicht,
>
> Dann musst du ein wenig mehr über deine Resultate
> nachdenken. Es ist
>
> 3n+3=3(n+1)
>
meinst du:
[mm] P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}= P_{3(n+1)}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}
[/mm]
aber wo kann ich da die Induktionsvoraussetzung einsetzen?
Ich befürchte es scheitert daran, dass ich schon den Ansatz der Aufgabe nicht wirklich verstehe
LG
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Hi Anna,
> > Hallo,
> >
> > meinst du das so (man kann es schier nicht entziffern!):
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & \textrm{für } x\ne{0} \\ 0, & \textrm{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ?
>
> ja genau, tut mir leid. Latexx und ich kommen nicht immer
> auf den selben Nenner :-P
Kein Ding!
> >
>
> > > etc. lese ich zu dieser Aufgabe den Hinweis, dass man
> > dazu
> > > einfach zeigen soll, dass für x [mm]\not=[/mm] 0 [mm]f^{(n)}(x)= P_{3n}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
>
> >
> > > , wobei [mm]P_{3n}[/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist.
> > >
> > > Jetzt habe ich mich an diesem Beweis versucht, komme
> > aber
> > > nicht so wirklich weiter. denn ich frage mich schon,
> > wie
> > > (1/x) also Faktor zustande kommt.
> >
> > Wo kommt der Faktor vor? Es kommt laut Hinweis der
> > [mm]Faktor P_{3n}\left(\bruch{1}{x}\right) vor[/mm] und dein
> > ermittelter (korrekter) Vorfaktor bei der ersten
> > Ableitung entspricht doch dieser Forderung exakt.
>
> Aber was hat das mit dem Polynom vom Grad 3n zu tuen? Denn
> [mm](1/x)*(2/x^{2})[/mm] z.B. (im Falle der ersten Ableitung)
> enthält doch kein Polynom vom dritten Grad
Ja, es enthält kein "übliches" Polynom. Aber es sind doch Potenzen in 1/x. Und genau das ist ja gemeint. Wenn du z=1/x setzt, dann siehst du das ja auch sofort ein.
> >
> > > Denn Die Ableitung von
> > > [mm]e^{-1/x^2}[/mm] ist doch [mm]=(2/x^3) *e^{-1/x^2}[/mm]
> > > und
> Wie
> > zeige ich
> > > die oben stehende Gleichung? per Induktion
> vielleicht?
> >
> > Ja, genau daran ist gedacht.
> >
> > > dann erhalte ich ja:
> > > [mm]f^{(n+1)}(x)= P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
> > >
> so
> > > wirklich weiter hilft mir das allerdings auch nicht,
> >
> > Dann musst du ein wenig mehr über deine Resultate
> > nachdenken. Es ist
> >
> > 3n+3=3(n+1)
> >
> meinst du:
> [mm]P_{3n+3}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}= P_{3(n+1)}(\frac{1}{x})*e^{-1/x^2}[/mm]
>
> aber wo kann ich da die Induktionsvoraussetzung einsetzen?
>
>
> Ich befürchte es scheitert daran, dass ich schon den
> Ansatz der Aufgabe nicht wirklich verstehe
Berechne ruhig einmal die ersten, sagen wir zwei Ableitungen. Du erkennst dann schon, dass du immer wieder den Exponentialfaktor bekommst. Im Grenzübergang ist dieser dann viel stärker als das vorangestellte Polynom. Daher geht der Grenzwert stets gegen Null. Mach dir das ruhig erst einmal klar. Dann weiß man auch, in welche Richtung man gehen muss.
Es wäre also zu zeigen:
(1) Sämtliche Ableitungen haben die Form [mm] f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}. [/mm] Dabei ist egal, wie die Potenz des Polynoms ist.
(2) Es ist [mm] \lim_{x+\to{0}}f^{n}(x)=0
[/mm]
Für (2) kannst du auch wieder Substituieren.
Kommst du damit erst einmal ein bisschen weiter? Zumindest existiert der "Fahrplan".
>
>
> LG
>
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Hey
danke für deine Mühen mir den Weg etwas einfacher zu gestalten 
> Es wäre also zu zeigen:
>
> (1) Sämtliche Ableitungen haben die Form
> [mm]f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}.[/mm] Dabei ist egal, wie die
> Potenz des Polynoms ist.
>
das zeige ich durch Induktion richtig?
Also im Induktionsschritt:
[mm] f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}
[/mm]
[mm] \gdw f^{(n)}*f^{(1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}
[/mm]
[mm] \gdw f^{(n)}* \frac{2}{x^2}*\frac{1}{x}*e^{-1/x^2} =P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}
[/mm]
[mm] \gdw f^{(n)}=P_{n+1}
[/mm]
naja und das stimmt ja leider nicht...
> (2) Es ist [mm][mm] \lim_{x+\to{0}}f^{n}(x)=0[/mm] [mm]
>
>
> Für (2) kannst du auch wieder Substituieren.
Also muss ich ja zeigen:
[mm] \lim_{x+\to{0}}P_n(1/x)e^{-1/x^2}=0
[/mm]
und das ist ja erfüllt, da die E-Funktion für Werte gegen 0 auch gegen 0 verläuft oder?
>
> Kommst du damit erst einmal ein bisschen weiter? Zumindest
> existiert der "Fahrplan".
Ich hoffe es...:-P Danke erstmal
LG
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Hi Anna,
> Hey
> danke für deine Mühen mir den Weg etwas einfacher zu
> gestalten
>
> > Es wäre also zu zeigen:
> >
> > (1) Sämtliche Ableitungen haben die Form
> > [mm]f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}.[/mm] Dabei ist egal, wie die
> > Potenz des Polynoms ist.
> >
>
>
> das zeige ich durch Induktion richtig?
Richtig.
> Also im Induktionsschritt:
> [mm]f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> [mm]\gdw f^{(n)}*f^{(1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> [mm]\gdw f^{(n)}* \frac{2}{x^2}*\frac{1}{x}*e^{-1/x^2} =P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
Naja, der Vollständigkeithalber solltest du schon das ganze auch mal für n=1 zeigen. Das ist aber sicherlich kein Problem.
Für den nächsten Schritt müssen wir [mm] f^{(n)}(x) [/mm] ableiten. Also:
[mm] f^{(n+1)}(x)=(P_n(1/x)e^{-1/x^2})'
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{x^2}P_n'(\frac{1}{x})e^{-1/x^2}+P_n(\frac{1}{x})(\frac{2}{x^3})e^{-1/x^2}
[/mm]
[mm] =\underbrace{\left(\frac{2}{x^3}P_n'(\frac{1}{x})-1/x^2P_n(\frac{1}{x})\right)}_{P_{n+1}(x):=}e^{-1/x^2}
[/mm]
Jetzt kannst du gut z=1/x setzen und so sieht das ganze schon angenehmer aus. Jetzt ist nur noch der Grenzwert zu ermitteln. (z.B. auch über den Differenzenquotienten - so wie die ABleitung ja definiert ist).
>
> [mm]\gdw f^{(n)}=P_{n+1}[/mm]
>
> naja und das stimmt ja leider nicht...
> > (2) Es ist [mm][mm]\lim_{x+\to{0}}f^{n}(x)=0[/mm] [mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]> [/mm][/mm]
> [mm][mm]> [/mm][/mm]
> [mm][mm]> Für (2) kannst du auch wieder Substituieren.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Also muss ich ja zeigen:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\lim_{x+\to{0}}P_n(1/x)e^{-1/x^2}=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] und das ist ja erfüllt, da die E-Funktion für Werte gegen 0 auch gegen 0 verläuft oder?[/mm][/mm]
> [mm][mm] > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> Kommst du damit erst einmal ein bisschen weiter? Zumindest [/mm][/mm]
> [mm][mm]> existiert der "Fahrplan".[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich hoffe es...:-P Danke erstmal[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]LG [/mm][/mm]
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Heyho
> > > Es wäre also zu zeigen:
> > >
> > > (1) Sämtliche Ableitungen haben die Form
> > > [mm]f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}.[/mm] Dabei ist egal, wie die
> > > Potenz des Polynoms ist.
>
> > Also im Induktionsschritt:
> > [mm]f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> > [mm]\gdw f^{(n)}*f^{(1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> > [mm]\gdw f^{(n)}* \frac{2}{x^2}*\frac{1}{x}*e^{-1/x^2} =P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
>
> Naja, der Vollständigkeithalber solltest du schon das
> ganze auch mal für n=1 zeigen. Das ist aber sicherlich
> kein Problem.
>
> Für den nächsten Schritt müssen wir [mm]f^{(n)}(x)[/mm] ableiten.
> Also:
>
> [mm]f^{(n+1)}(x)=(P_n(1/x)e^{-1/x^2})'[/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{x^2}P_n'(\frac{1}{x})e^{-1/x^2}+P_n(\frac{1}{x})(\frac{2}{x^3})e^{-1/x^2}[/mm]
hier hast du die Produktregel angewendet, richtig? den 2. Teil kann ich nachvollziehen. Allerdings fehlt meiner Meinung nach etwas bei dem ersten Summanden. Denn wenn man :
u(x)= [mm] (\frac{1}{x})*P_{n} [/mm] ableiten will, erhalt man doch nicht nur:
u'(x)= [mm] \frac{-1}{x^2} [/mm] *P'(n)
oder?
meiner Meinung nach ist das:
u'(x)= [mm] \frac{-1}{x^2} [/mm] *P(n) oder?
denn wenn z.B. P(n)=2
dann wäre ja :
u'(x)=0*...=0
und das würde doch nicht stimmen
bin ich da auf dem Holzweg?
>
> [mm]=\underbrace{\left(\frac{2}{x^3}P_n'(\frac{1}{x})-1/x^2P_n(\frac{1}{x})\right)}_{P_{n+1}(x):=}e^{-1/x^2}[/mm]
>
>
> Jetzt kannst du gut z=1/x setzen und so sieht das ganze
> schon angenehmer aus. Jetzt ist nur noch der Grenzwert zu
> ermitteln. (z.B. auch über den Differenzenquotienten - so
> wie die ABleitung ja definiert ist).
also den Differenzenquotienten im Nullpunkt [mm] x_{0}:
[/mm]
[mm] \limes{x \to 0} \frac{(\underbrace{\left(\frac{2}{x^3}P_n'(\frac{1}{x})-1/x^2P_n(\frac{1}{x})\right)}_{P_{n+1}(x):=}e^{-1/x^2})}{x} [/mm] =0
oder?
LG
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> Heyho
>
>
> > > > Es wäre also zu zeigen:
> > > >
> > > > (1) Sämtliche Ableitungen haben die Form
> > > > [mm]f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}.[/mm] Dabei ist egal, wie die
> > > > Potenz des Polynoms ist.
>
> >
> > > Also im Induktionsschritt:
> > > [mm]f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> > > [mm]\gdw f^{(n)}*f^{(1)}(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
> > >
> [mm]\gdw f^{(n)}* \frac{2}{x^2}*\frac{1}{x}*e^{-1/x^2} =P_{n+1}(1/x)e^{-1/x^2}[/mm]
>
> >
> > Naja, der Vollständigkeithalber solltest du schon das
> > ganze auch mal für n=1 zeigen. Das ist aber sicherlich
> > kein Problem.
> >
> > Für den nächsten Schritt müssen wir [mm]f^{(n)}(x)[/mm] ableiten.
> > Also:
> >
> > [mm]f^{(n+1)}(x)=(P_n(1/x)e^{-1/x^2})'[/mm]
> >
> >
> [mm]=-\frac{1}{x^2}P_n'(\frac{1}{x})e^{-1/x^2}+P_n(\frac{1}{x})(\frac{2}{x^3})e^{-1/x^2}[/mm]
>
> hier hast du die Produktregel angewendet, richtig? den 2.
> Teil kann ich nachvollziehen. Allerdings fehlt meiner
> Meinung nach etwas bei dem ersten Summanden. Denn wenn man
> :
> u(x)= [mm](\frac{1}{x})*P_{n}[/mm] ableiten will, erhalt man doch
> nicht nur:
> u'(x)= [mm]\frac{-1}{x^2}[/mm] *P'(n)
> oder?
> meiner Meinung nach ist das:
> u'(x)= [mm]\frac{-1}{x^2}[/mm] *P(n) oder?
> denn wenn z.B. P(n)=2
> dann wäre ja :
> u'(x)=0*...=0
> und das würde doch nicht stimmen
> bin ich da auf dem Holzweg?
Hi,
puhhh, das ist ja alles kaum erkennbar. Bis hin zu einem völligen durcheinander.
Woher kommt denn jetzt P(n) ?! Warum sollte P(n)=2 sein?
Ja wir wenden die Produktregel an.
Wir setzen [mm] u(x)=P_n(1/x) [/mm] und [mm] v(x)=e^{-1/x^2}.
[/mm]
Damit gilt: [mm] u'(x)=-\frac{1}{x^2}P_n'(1/x) [/mm] (Kettenregel) und [mm] v'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}.
[/mm]
> >
> >
> [mm]=\underbrace{\left(\frac{2}{x^3}P_n'(\frac{1}{x})-1/x^2P_n(\frac{1}{x})\right)}_{P_{n+1}(x):=}e^{-1/x^2}[/mm]
> >
> >
> > Jetzt kannst du gut z=1/x setzen und so sieht das ganze
> > schon angenehmer aus. Jetzt ist nur noch der Grenzwert zu
> > ermitteln. (z.B. auch über den Differenzenquotienten - so
> > wie die ABleitung ja definiert ist).
>
> also den Differenzenquotienten im Nullpunkt [mm]x_{0}:[/mm]
> [mm]\limes{x \to 0} \frac{(\underbrace{\left(\frac{2}{x^3}P_n'(\frac{1}{x})-1/x^2P_n(\frac{1}{x})\right)}_{P_{n+1}(x):=}e^{-1/x^2})}{x}[/mm]
Auch hier ist das ja ziemlich wüst. Es läuft darauf hinaus, dass du einfach erkennst, dass der Exponentialteil viel stärker ist, als die Polynomfunktion. Am besten, du machst das mit
[mm] \lim_{h\to{0}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
> =0
>
> oder?
>
>
>
> LG
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Hey
ja du hast recht. habe in dem Moment leider zu kompliziert gedacht. Tut mir leid
Also dann mal los:
[mm] \limes{h \to 0} \frac{(\frac{2}{(x_{0}+h)^3}P_n'(\frac{1}{(x_{0}+h)})-1/(x_{0}+h)^2P_n(\frac{1}{(x_{0}+h)})*e^{-1/(x_{0}+h)^2})-(\frac{2}{(x_{0})^3}P_n'(\frac{1}{(x_{0})})-1/h^2P_n(\frac{1}{(x_{0}})*e^{-1/(x_{0})^2})}{h}
[/mm]
aber wenn ich jetzt für [mm] x_{0}=0 [/mm] einsetze funktioniert dies ja an manchen Stellen nicht, da 0 ja nicht im Nenner stehen darf
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Do 03.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey
> ja du hast recht. habe in dem Moment leider zu kompliziert
> gedacht. Tut mir leid
>
> Also dann mal los:
>
> [mm]\limes{h \to 0} \frac{(\frac{2}{(x_{0}+h)^3}P_n'(\frac{1}{(x_{0}+h)})-1/(x_{0}+h)^2P_n(\frac{1}{(x_{0}+h)})*e^{-1/(x_{0}+h)^2})-(\frac{2}{(x_{0})^3}P_n'(\frac{1}{(x_{0})})-1/h^2P_n(\frac{1}{(x_{0}})*e^{-1/(x_{0})^2})}{h}[/mm]
>
> aber wenn ich jetzt für [mm]x_{0}=0[/mm]
[mm] $x_0=0$ [/mm] kannst Du ja nicht einsetzen, denn [mm] "$1/x_0=1/0"\,$ [/mm] ist gar nicht definiert.
> einsetze funktioniert dies
> ja an manchen Stellen nicht, da 0 ja nicht im Nenner stehen
> darf
???
Lies' bitte nochmal genau die Definitionen:
![[]](/images/popup.gif) Definition 10.4
und
Definition 13.1:
Demnach bedeutet
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
nichts anderes als
[mm] $\lim_{\substack{h \to 0\\h \not=0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
Für Deine Aufgabe bedeutet das:
Per Definitionem von [mm] $f\,$ [/mm] gilt [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] und
[mm] $f(x)=e^{1/x^2}$ [/mm] für $|x| > [mm] 0\,.$
[/mm]
Daher ist
[mm] $f\,'(0)=\lim_{\substack{h \to 0\\h \not=0}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{\substack{h \to 0\\h \not=0}} \frac{e^{1/h^2}-0}{h}=\lim_{\substack{h \to 0\\h \not=0}} \frac{e^{1/h^2}}{h}\,.$
[/mm]
P.S. Um das, was Richie sagte, zu erkennen (der Exponentialteil ist
*stärker* als (jede) Polynomfunktion):
Hier würde ich Dir empfehlen, Dir erstmal mit de l'Hôpital klarzumachen:
Ist [mm] $P\,$ [/mm] eine Polynomfunktion, so folgt
[mm] $\lim_{x \to \infty} P(x)e^{-x}=\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{e^x}=0\,.$
[/mm]
('Schulgerecht' würde man sagen: Wende de l'Hôpital so oft an, wie Du am
Grad von P ablesen kannst [beachte, dass man, bevor man de l'Hôpital
anwenden kann, immer auch gewisse Voraussetzungen zu prüfen hat!].
Wenn Du es etwas 'gewissenhafter, wie man es zu Studienbeginn lernt',
machen willst:
Induktion!)
Und bei Deiner Aufgabe kommt ja prinzipiell sogar sowas vor:
[mm] $P(x)e^{-x^2}$ [/mm] (wobei wir hier dann o.E. $x [mm] \to \infty$ [/mm] annehmen könnten,
anstatt Fallunterscheidungen $x [mm] \to +\infty$ [/mm] oder $x [mm] \to -\infty$ [/mm] zu führen;
aber das wirst Du vielleicht auch erst später wirklich einsehen! Falls Du
einen Hinweis haben willst: Für betragsgroße [mm] $x\,$ [/mm] ist der Koeffizient
multipliziert mit dem entsprechenden Monom bei der höchstens Potenz
im Wesentlichen der *dominanteste* Anteil in [mm] $P\,$ [/mm] - aber das ist nur
so grob, salopp dahingesagt... Damit es ein wenig klarer wird: Bspw.
bei
$x [mm] \mapsto 3x^5+200x^4+7045x$
[/mm]
wird bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] vor allem der Anteil [mm] $3x^5$ [/mm] *extrem schnell ansteigen*,
im Vergleich zum Rest...)
wobei wir für genügend große [mm] $x\,$ [/mm] sicher
[mm] $|e^{-x^2}|=e^{-x^2} \le |e^{-x}|=e^{-x}\,.$
[/mm]
(Grund: $-x*(1-x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \ge 1\,,$ [/mm] daher
[mm] $e^{-x(1-x)} \ge e^0=1$
[/mm]
für alle $x [mm] \ge 1\,,$ [/mm] weil $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] monoton wächst!)
Und warum? Naja, weil wir hier i.W. sowas wie
$|1/h| [mm] \to \infty$ $\iff$ [/mm] $|h| [mm] \to [/mm] 0$
benutzen können.
Dieses alles hier, was beim P.S. steht, bezieht sich aber vor allem auf Deine
Ursprungsfrage, warum es überhaupt sinnvoll ist, zu zeigen:
[mm] $f^{n}(x)=\frac{1}{e^{1/x^2}}*P_{3n}(1/x)$
[/mm]
(das gilt natürlich nur für $x [mm] \red{\;\not=\;}0$ [/mm] - denn wie willst Du für $x=0$
hier
[mm] $1/x^2$
[/mm]
hinschreiben - das geht nicht, also macht [mm] $e^{1/x^2}$ [/mm] keinen Sinn. Ebenso
ist [mm] $P_{3n}(1/x)$ [/mm] für [mm] $x=0\,$ [/mm] sinnlos, weil schon [mm] $1/0\,$ [/mm] sinnlos ist...)
Also nochmal kurz:
1.) Du zeigst zunächst, dass in der Tat
[mm] $f^{(n)}(x)=e^{-1/x^2}*P_{3n}(1/x)$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| > [mm] 0\,$
[/mm]
gilt, wobei [mm] $P_{3n}$ [/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist. (Das geht sicher für $n [mm] \in \IN_0\,,$
[/mm]
wobei daran erinnert sei, dass [mm] $f^{(0)}:=f\,.$)
[/mm]
2.) Damit folgt
[mm] $f^{(n+1)}(0)=\lim_{h \to 0} \frac{f^{(n)}(0+h)-f^{(n)}(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}\,,$
[/mm]
wobei hier
[mm] $f^{n}(h)=e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)$ [/mm] (beachte: $h [mm] \not=0$ [/mm] bei [mm] $\lim_{h \to 0}$!)
[/mm]
und die Induktionsvoraussetzung
[mm] $f^{(n)}(0)=0$
[/mm]
benutzt wird. Dass dann am Ende in der Tat
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}=0$
[/mm]
rauskommt, das kannst Du etwa mit meinem obigen Hinweis (l'Hôpital)
schlussendlich folgern!
Gruß,
Marcel
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Hey
erstmal danke für deine lange Antwort, nur l'Hospital darf ich leider nicht benutzen, da wir diese Regel noch nicht bewiesen und gelernt haben, dennoch denke ich weiß ich, worauf du hinaus willst.
Also:
> 1.) Du zeigst zunächst, dass in der Tat
>
> [mm]f^{(n)}(x)=e^{-1/x^2}*P_{3n}(1/x)[/mm] für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| > 0\,[/mm]
>
> gilt, wobei [mm]P_{3n}[/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist. (Das geht
> sicher für [mm]n \in \IN_0\,,[/mm]
> wobei daran erinnert sei, dass
> [mm]f^{(0)}:=f\,.[/mm])
das alles durch Induktion richtig?
Dies ist ja quasi in den vergangene Antworten und Beiträgen, vor Allem durch Richis Hilfe schon geschehen oder?
>
> 2.) Damit folgt
>
> [mm]f^{(n+1)}(0)=\lim_{h \to 0} \frac{f^{(n)}(0+h)-f^{(n)}(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}\,,[/mm]
bis hierhin verstehe ich Alles !
>
> wobei hier
>
> [mm]f^{n}(h)=e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)[/mm] (beachte: [mm]h \not=0[/mm] bei
> [mm]\lim_{h \to 0}[/mm]!)
Aber was hat das jetzt damit zu tun?
> und die Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm]
>
> benutzt wird. Dass dann am Ende in der Tat
>
> [mm]\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}=0[/mm]
>
also ich hätte jetzt daraus geschlussfolgert, dass der Exponentialteil für h gegen 0, =0 wird und somit als Faktor dafür sorgt dass das Produkt ebenfalls =0 wird. Aber das reicht als Begründung nicht aus, oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey
> erstmal danke für deine lange Antwort, nur l'Hospital
> darf ich leider nicht benutzen, da wir diese Regel noch
> nicht bewiesen und gelernt haben, dennoch denke ich weiß
> ich, worauf du hinaus willst.
> Also:
>
> > 1.) Du zeigst zunächst, dass in der Tat
> >
> > [mm]f^{(n)}(x)=e^{-1/x^2}*P_{3n}(1/x)[/mm] für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| > 0\,[/mm]
>
> >
> > gilt, wobei [mm]P_{3n}[/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist. (Das geht
> > sicher für [mm]n \in \IN_0\,,[/mm]
> > wobei daran erinnert sei,
> dass
> > [mm]f^{(0)}:=f\,.[/mm])
>
> das alles durch Induktion richtig?
ja.
> Dies ist ja quasi in den vergangene Antworten und
> Beiträgen, vor Allem durch Richis Hilfe schon geschehen
> oder?
Das kann gut sein, ich habe die Antworten nicht im Detail durchgeguckt.
Aber grob schien mir da alles Wesentliche vorhanden!
> >
> > 2.) Damit folgt
> >
> > [mm]f^{(n+1)}(0)=\lim_{h \to 0} \frac{f^{(n)}(0+h)-f^{(n)}(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}\,,[/mm]
>
> bis hierhin verstehe ich Alles !
>
> >
> > wobei hier
> >
> > [mm]f^{n}(h)=e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)[/mm] (beachte: [mm]h \not=0[/mm] bei
> > [mm]\lim_{h \to 0}[/mm]!)
>
>
> Aber was hat das jetzt damit zu tun?
Naja, Du willst doch
[mm] $f^{(n)}(0)=0$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] beweisen. Auch das per Induktion. Und im Induktionsschritt
haben wir für $h [mm] \not=0$ [/mm] halt erstmal sowas stehen:
[mm] $\frac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}\,,$
[/mm]
wobei wir [mm] $f^{(n)}(h)$ [/mm] umschreiben können (dazu hast Du ja einen anderen
Induktionsbeweis geführt - wie gesagt: beachte $h [mm] \not=0$), [/mm] und zudem etwas
über [mm] $f^{(n)}(0)$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung wissen. Schreib's Dir mal
sauber auf! (Oder soll ich Dir mal so grob den Anfang machen? Kann ich
machen, falls es Dir so gar nicht klar werden sollte...)
Der Rest folgt dann aus dem, was ich in der Antwort angedeutet habe:
[mm] $\lim_{x \to \pm \infty}e^{-1/x^2}\tilde{P}(x)=0$
[/mm]
gilt für jede Polynomfunktion [mm] $\tilde{P}(x)$ [/mm] - wenn ihr de l'Hôpital noch nicht
hattet bzw. benutzen dürft: Probier's vielleicht mal mit der Exponentialreihe
(hattet ihr eventuell schon etwas allg. Potenzreihen behandelt?)...
> > und die Induktionsvoraussetzung
> >
> > [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm]
> >
> > benutzt wird. Dass dann am Ende in der Tat
> >
> > [mm]\lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)}{h}=0[/mm]
> >
> also ich hätte jetzt daraus geschlussfolgert, dass der
> Exponentialteil für h gegen 0, =0 wird und somit als
> Faktor dafür sorgt dass das Produkt ebenfalls =0 wird.
> Aber das reicht als Begründung nicht aus, oder?
Nein, denn in allen drei folgenden Beispielen könntest Du genauso (falsch)
argumentieren:
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h}=\lim_{h \to 0} [/mm] h [mm] *\frac{h}{h}=0\,,$
[/mm]
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{h}{h}=\lim_{h \to 0} [/mm] h [mm] *\frac{1}{h}=1\red{\;\not=\;0}\,,$
[/mm]
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{h}{h^2}=\lim_{h \to 0} [/mm] h [mm] *\frac{1}{h^2}=\infty\red{\;\not=\;0}\,.$
[/mm]
Schau Dir bitte immer genau die Voraussetzungen an, wenn Du Reglen für
Grenzwertberechnungen anwenden willst!
(Beim ersten Beispiel kommt zwar das *passende* Ergebnis raus, aber
mathematisch kann man da halt auch mit einer passenden Rechenregel
für Grenzwerte argumentieren. Bei den beiden folgenden Beispielen greift
diese Regel aber eben nicht, weil
[mm] $\lim_{h \to 0}1/h$ [/mm] nicht existiert [warum?]
bzw.
[mm] $\lim_{h \to 0}1/h^2$ [/mm] nicht in [mm] $\mathbf{\IR}$ [/mm] existiert!)
Das Problem bei
[mm] $\lim_{h \to 0}e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)/h$
[/mm]
ist doch, dass hier ein Terminus der Art
[mm] $0/0\,$
[/mm]
entsteht.
Du kennst sowas wie: Wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to b\,,$ [/mm] dann
[mm] $a_n*b_n \to a*b\,,$
[/mm]
und wenn zudem $b [mm] \not=0\,,$ [/mm] dann auch
[mm] $a_n/b_n \to a/b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hey
> > >
> > > wobei hier
> > >
> > > [mm]f^{n}(h)=e^{-1/h^2}*P_{3n}(1/h)[/mm] (beachte: [mm]h \not=0[/mm] bei
> > > [mm]\lim_{h \to 0}[/mm]!)
> >
> >
> > Aber was hat das jetzt damit zu tun?
>
ich glaube jetzt verstehe ich so langsam was gemeint ist. Denn meine Induktionsvoraussetzung ist ja:
IV) [mm] f^{n}(0)=0 [/mm] und diese setzte ich ja dann an dieser Stelle ein.
dann erhalte ich ja:
[mm] \limes_{ h \to 0}\frac{e^{-1/h^2}*P_{3n}*(1/h)}{h}
[/mm]
und jetzt weiß ich zwar, dass sich der Exponentialteil stärker verhält, und deshalb der gesamt Bruch gegen 0 verläuft, jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen soll .Potenzreihen hatten wir schon, aber nur im Bezug mit dem Konvergenzradius. und da sehe ich leider keinen Zusammenhang :-(
PS: Ich fände es super lieb, wenn du mir einen Anfang machen könntest, da ich leider mittlerweile den Überblick verloren habe, wo ich was zu beweisen habe und wie ich überhaupt anfange.
Ich weiß deine Mühen sehr zu schätzen
LG und einen schönen Sonntag
Anna
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Hallo,
> .Potenzreihen hatten wir schon, aber nur im Bezug mit dem
> Konvergenzradius. und da sehe ich leider keinen
> Zusammenhang :-(
es ist
[mm] e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
die Potenzreihen-Darstellung der Exponentialfunktion. Das ist eine elementare Grundlage, das wurde unter Garantie bei euch auch schon durchgenommen, und vermutlich hättest du es mit einem gründlichen Blick in deine Unterlagen selbst gefunden...
PS: Es ist im Prinzip deine Sache und geht mich nichts an: aber wenn man so unselbstständig arbeitet, bringt man es in der Mathematik eher nicht so weit. Du stellst hier meist Fragen, die nur dem Sinn und Zweck dienen, dass du wieder ein weiteres Bröckchen des Lösungswegs hingeworfen bekommst, möglichst ohne dir den Sinn der gegebenen Antworten klar zu machen. Das ist nicht im Sinne dieses Forums, und es ist deswegen tragisch, weil du damit die eigentlichen Stärken unserer Community für dich überhaupt nicht nutzbar machst, sondern sie im Gegenteil links liegen lässt.
Gruß, Diophant
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