unendlich differenzierbar? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:42 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
habe zur Aufgabe mehrere Lösungsansätze und bin mir da jetzt nicht ganz sicher welchen ich wählen soll.
Aufgabe: Beweisen sie dass die Funktion
[m] g: \IR^n \to \IR,[/m] [m] x\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x=0 \\ exp(-\bruch{1}{\parallel x \parallel ^2}), & \mbox{sonst } \end{cases}[/m]
in [m]C^{\infty} [/m] liegt. Bestimmen sie alle höheren partiellen Ableitungen im Ursprung.
Als erstes haben wir uns folgendes überlegt:
[m](-\bruch{1}{\parallel x \parallel ^2})^k exp(-\bruch{1}{\parallel x \parallel ^2}) [/m]
als k-te Ableitung da ja durch die Norm der Vektor x direkt nach [mm] \IR [/mm] zu einem Wert abgebildet wird. An der Form sieht man direkt dass man unendlich oft differenzieren kann.
Dann haben wir überlegt, dass man das doch nicht so einfach machen kann und haben die erste Ableitung mit Kettenregel gemacht:
[m] 2\parallel x \parallel^{-3} exp(-\bruch{1}{\parallel x \parallel ^2}) [/m]
Bei den folgenden Ableitungen kommt man dann nicht zu so einer schönen Ableitung wie im ersten Versuch, da hier jetzt noch die Produktregel dazukommt. Aber da wir wissen, dass exp(x) unendlich oft differenzierbar ist und er als Faktor in der Produktregel nicht verschwindet kann man doch die unedliche Differenzierbarkeit auch auf die Funktion g übertragen oder?
Bleibt noch die Stetigkeit der Ableitung in 0 zu zeigen. Dazu braucht man ja nur den Grenzwert von x [mm] \to [/mm] 0 bilden. Und da der jedesmal Null ist folgt daraus [m]g \in C^{\infty}[/m].
Aus diesem Grenzwert wissen wir dann auch alle höheren partiellen Ableitungen von g im Ursprung, die sind dann nämlich alle 0.
So nun stellt sich bei mir die Frage welche Lösung die richtige ist oder ob noch woanders der Fehler liegt.
Vielen Dank schonmal im Vorraus für eure Antworten
MFG Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
hatte eigentlich ne Antwort/Reaktion auf die Antwort geschrieben.
Der Verweis hatte mir nicht wirklich weitergeholfen da das Problem bei der Ableitung die Norm war.
Dieses Problem stellt sich bei mir schon wieder nächsten Aufgabe /Thread.
Aber Danke nochmal für den Versuch.
Gruß Shaguar
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