unendlich=10^6 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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moin,
Ich musste vor kurzem an meinen Physiklehrer denken, der ein gescheitertes Experiment mit dem Satz kommentierte:
"In der Physik liegt unendlich ungefähr bei 20 Metern."
Der Grund dafür war aber kein Physikproblem sondern ein paar konvergente Folgen und Reihen, die ich betrachtet habe.
Beim Berechnen des Grenzwerts viel auf, dass [mm] $a_{10^6}$ [/mm] schon eine verdammt gute Näherung an selbigen war, der tatsächliche Grenzwert unterschied sich nur noch im [mm] $10^{-4}$-Bereich [/mm] vom millionsten Folgenglied.
Nun stellt sich die Frage:
Ist das "normal"?
Also ist es häufig/meistens so, dass eine konvergente Folge ihrem Grenzwert schon beim millionsten Glied (was ja verglichen mit der Unendlichkeit verschwindend gering ist) sehr nahe kommt?
Ich weiß, dass man natürlich ein Gegenbeispiel konstruieren könnte, deshalb sollte man dies am besten mit Wahrscheinlichkeiten formulieren:
Sei $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] eine beliebige konvergente Folge mit Grenzwert $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann ist [mm] $P(|a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon)$ [/mm] für n = [mm] 10^6 [/mm] schon vergleichsweise groß (ich will jetzt keinen Zahlenwert nennen, damit ihr mich nicht daran aufknüpft, also bitte nicht am "vergleichsweise groß" stören^^).
Zu dieser Behauptung hätte ich dann zwei konkrete Fragen:
1. Stimmt diese Behauptung?
2. Gibt es in diesem Zusammenhang irgendwelche Sätze? Sowas ähnliches wie das Gesetz der großen Zahlen vielleicht?
Schonmal thx für Antworten
MfG
Schadowmaster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 22.09.2011 | | Autor: | abakus |
> moin,
>
> Ich musste vor kurzem an meinen Physiklehrer denken, der
> ein gescheitertes Experiment mit dem Satz kommentierte:
> "In der Physik liegt unendlich ungefähr bei 20 Metern."
>
> Der Grund dafür war aber kein Physikproblem sondern ein
> paar konvergente Folgen und Reihen, die ich betrachtet
> habe.
> Beim Berechnen des Grenzwerts viel auf, dass [mm]a_{10^6}[/mm]
> schon eine verdammt gute Näherung an selbigen war, der
> tatsächliche Grenzwert unterschied sich nur noch im
> [mm]10^{-4}[/mm]-Bereich vom millionsten Folgenglied.
> Nun stellt sich die Frage:
> Ist das "normal"?
> Also ist es häufig/meistens so, dass eine konvergente
> Folge ihrem Grenzwert schon beim millionsten Glied (was ja
> verglichen mit der Unendlichkeit verschwindend gering ist)
> sehr nahe kommt?
> Ich weiß, dass man natürlich ein Gegenbeispiel
> konstruieren könnte, deshalb sollte man dies am besten mit
> Wahrscheinlichkeiten formulieren:
>
> Sei [mm]a: \IN \to \IR[/mm] eine beliebige konvergente Folge mit
> Grenzwert [mm]a \in \IR[/mm].
> Dann ist [mm]P(|a_n - a| < \epsilon)[/mm] für
> n = [mm]10^6[/mm] schon vergleichsweise groß (ich will jetzt keinen
> Zahlenwert nennen, damit ihr mich nicht daran aufknüpft,
> also bitte nicht am "vergleichsweise groß" stören^^).
>
> Zu dieser Behauptung hätte ich dann zwei konkrete Fragen:
> 1. Stimmt diese Behauptung?
> 2. Gibt es in diesem Zusammenhang irgendwelche Sätze?
> Sowas ähnliches wie das Gesetz der großen Zahlen
> vielleicht?
>
>
> Schonmal thx für Antworten
>
> MfG
>
> Schadowmaster
Hallo,
zu jeder Folge [mm] a_n, [/mm] die bei n=1000000 schon im [mm] 10^{-4} [/mm] Bereich des Grenzwertes liegt, kannst du eine Folge ähnlich wie [mm] b_n=1000000000*a_n [/mm] erzeugen, die den Grenzwert dort noch nicht einmal in Sichtweite hat.
Gruß Abakus
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