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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{t^a}{1+t^b} dt}
[/mm]
Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] konvergiert es? |
[mm] \frac{t^a}{1+t^b} [/mm] > 0
und ist monotone folge -> reihenkriterium anwenden.
leider weiß ich nun nicht, welches kriterium der reihenkonvergenz ich am besten anwende um zu zeigen, für welche a,b die reihe konvergiert.
Habt ihr einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 So 08.04.2012 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{t^a}{1+t^b} dt}[/mm]
> Für welche
> a,b [mm]\in \IR[/mm] konvergiert es?
> [mm]\frac{t^a}{1+t^b}[/mm] > 0
> und ist monotone folge -> reihenkriterium anwenden.
> leider weiß ich nun nicht, welches kriterium der
> reihenkonvergenz ich am besten anwende um zu zeigen, für
> welche a,b die reihe konvergiert.
> Habt ihr einen Tipp?
Hallo,
betrachte als Einstieg mal den Fall a=b-1. Fur f(t)=[mm]\bruch{t^{b-1}}{1+t^b}[/mm] sollte eine Stammfunktion zu finden sein...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{t^a}{1+t^b} dt}[/mm]
> > Für
> welche
> > a,b [mm]\in \IR[/mm] konvergiert es?
> betrachte als Einstieg mal den Fall a=b-1. Fur
> f(t)=[mm]\bruch{t^{b-1}}{1+t^b}[/mm] sollte eine Stammfunktion zu
> finden sein...
Hallo,
[mm] \integral \bruch{t^{b-1}}{1+t^b} [/mm] dt = [mm] \frac{1}{b} [/mm] * [mm] ln(|1+t^b|)
[/mm]
wobei auch betrag verzichtet werden kann,da t [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Eingesetzt in die obigen Grenzen
[mm] lim_{R->\infty} \frac{1}{b} [/mm] ln(1) - 1/b * [mm] ln(1+R^b)=
[/mm]
[mm] lim_{R->\infty} [/mm] -1/b * [mm] ln(1+*R^b)
[/mm]
Wie kann ich weitertun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 08.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum die obere Grenze negativ?
[mm] ln1+R^b [/mm] geht gegen unendlich mit R
Was du mit Reihen machen willst versteh ich nichtm kannst du das erklären? welche Reihe?
für t>1 verkleiner den Untegranden und betrachte [mm] t^{a-b}/2 [/mm] was kannst du dann über das integral sagen?
für welche a,b existiert es sicher nicht?
mit der Idee kannst du auch durch vergrößern rauskriegen, wann es sicher existiert.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:38 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> t>1 verkleiner den Untegranden
Was ist denn der Untegrand?
[mm] \frac{t^a}{1+t^b} [/mm] < [mm] t^{a-b}
[/mm]
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{a-b} dt} $=\integral_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{b-a}} [/mm] dt [mm] =\integral_{0}^{1}\frac{1}{t^{b-a}} [/mm] dt + [mm] \integral_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{b-a}} [/mm] dt
Das erste integral existiert wenn b-a < 1 und das zweite integral existiert wenn b-a > 1
-> existiert nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 10.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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