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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das uneigentliche Integral von [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^{3}+1}) dx} [/mm] |
Hallo Leute, ich hab mir diese Aufgabe soeben mal mit Mathematika zur Gemüte geführt www.wolframalpha.com und habe eigetnlich auch alle Schritte sehr gut nachvollziehen können jedoch erscheint mir diese Rechnung etwas zu lang und da das uneigentliche Integral als [mm] "Lösung"\bruch{ 2\Pi}{3\wurzel{3}} [/mm] hat wollte ich fragen wie der letzte Schritt funktioniert wenn man die Grenzen einsetzt.
Mein Problem ist das ja die natürliche Logarithmus Funktion, wie in der Aufgaben zbsp. ln(x+1) für x gegen unendlich ja nicht konvergiert.
Meine Fragen zu den Thema wären also:
a) gibt es einen leichteren humaneren Weg das Uneigentliche Integral zu bestimmen
b) wie komme ich nachdem ich das integral ausgerechnet habe mit meinen Grenzen von 0 bis [mm] \infty [/mm] auf [mm] \bruch{ 2\Pi}{3\wurzel{3}}
[/mm]
Die Lösung des Integrals ohne die Grenzen ist:
-1/6 [mm] ln(x^2-x+1)+1/3 ln(x+1)+\bruch{(tan^{-1}(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})}{\wurzel{3}}
[/mm]
Es wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte!
Viele Liebe Grüße, Seamus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie das uneigentliche Integral von
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^{3}+1}) dx}[/mm]
> Hallo
> Leute, ich hab mir diese Aufgabe soeben mal mit Mathematika
> zur Gemüte geführt www.wolframalpha.com und habe
> eigetnlich auch alle Schritte sehr gut nachvollziehen
> können jedoch erscheint mir diese Rechnung etwas zu lang
> und da das uneigentliche Integral als [mm]"Lösung"\bruch{ 2\Pi}{3\wurzel{3}}[/mm]
> hat wollte ich fragen wie der letzte Schritt funktioniert
> wenn man die Grenzen einsetzt.
>
> Mein Problem ist das ja die natürliche Logarithmus
> Funktion, wie in der Aufgaben zbsp. ln(x+1) für x gegen
> unendlich ja nicht konvergiert.
>
> Meine Fragen zu den Thema wären also:
> a) gibt es einen leichteren humaneren Weg das
> Uneigentliche Integral zu bestimmen
> b) wie komme ich nachdem ich das integral ausgerechnet
> habe mit meinen Grenzen von 0 bis [mm]\infty[/mm] auf [mm]\bruch{ 2\Pi}{3\wurzel{3}}[/mm]
>
> Die Lösung des Integrals ohne die Grenzen ist:
> -1/6 [mm]ln(x^2-x+1)+1/3 ln(x+1)+\bruch{(tan^{-1}(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})}{\wurzel{3}}[/mm]
Hallo,
es ist -1/6 [mm] ln(x^2-x+1)+1/3 ln(x+1)=ln\bruch{\wurzel[3]{x+1}}{\wurzel[6]{x^2-x+1}}. [/mm] Nun geht
[mm] \bruch{\wurzel[3]{x+1}}{\wurzel[6]{x^2-x+1}} [/mm] gegen 1, der ln davon also gegen Null.
Wesentlich für das Gesamtergebnis ist also [mm] \bruch{(tan^{-1}(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})}{\wurzel{3}}
[/mm]
Gruß Abakus
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> Es wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte!
>
> Viele Liebe Grüße, Seamus
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ist wahrscheinlich ne dumme frage, aber ich frag trotzdem mal : ist
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^{3}+1}) dx} [/mm] $ das gleiche wie
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}
[/mm]
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> ist wahrscheinlich ne dumme frage, aber ich frag trotzdem
> mal : ist
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^{3}+1}) dx}[/mm] das gleiche
> wie
> $ [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}[/mm]
die geschlossene klammer (die nirgens aufgeht) und das dollarzeichen ignoriere ich mal, und sage:
beide integrale sind identisch
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pinkpanter |
danke tee
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