uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Berechnen sie die Integrale:
1) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
2) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx} [/mm] |
zu 1)
[mm] F(x)=\bruch{-e^{-x^{2}}}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{x*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =\limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{-e^{-a^{2}}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{-e^{-0^{2}}}{2}
[/mm]
=0-(-0,5) = 0,5
ist dies mathematisch korrekt aufgeschrieben ?
zu 2)
hier habe ich mehrere Probleme:
- wie lautet die Stammfunktion ? Ich komme im Kopf leider nicht drauf, mein Taschenrechner hilft dort auch nicht weiter
- da ich an der Stelle 0 eine def. Lücke habe, würde ich es so schreiben:
[mm] \limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx}
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe !
|
|
| |
|
Hallo Tobus,
> Berechnen sie die Integrale:
> 1) [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> 2)
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx}[/mm]
> zu 1)
> [mm]F(x)=\bruch{-e^{-x^{2}}}{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{x*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{-e^{-a^{2}}}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{-e^{-0^{2}}}{2}[/mm]
> =0-(-0,5) = 0,5
>
> ist dies mathematisch korrekt aufgeschrieben ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu 2)
> hier habe ich mehrere Probleme:
> - wie lautet die Stammfunktion ? Ich komme im Kopf leider
> nicht drauf, mein Taschenrechner hilft dort auch nicht
> weiter
> - da ich an der Stelle 0 eine def. Lücke habe, würde ich
> es so schreiben:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx}[/mm]
Für dieses Integral läßt sich kein geschlossener Ausdruck angeben.
Probiere deshalb, diese Integral über die Reihenentwicklung von [mm]e^{x}[/mm] auszuwerten.
>
> Vielen Dank für die Hilfe !
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 29.06.2008 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
d.h.
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n!} *x^{n}}{x} dx}
[/mm]
Nun komme ich aber leider schon nicht mehr weiter.
Auf einer anderen Seite habe ich folgende Vereinfachung gefunden:
= ln|x| + [mm] \integral_{}^{}{\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n*n!} dx}
[/mm]
Ich weiß nun, dass man die Stammfunktion einer Reihe bildet, indem man jedes einzelne Reihenglied integriert.
ist dies richtig ?
DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 So 29.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ie Reihe von [mm] e^x [/mm] fängt bei 0 an nicht bei 1.
dein 2tes Integral ist also dasselbe wie as erste, nur 1/x einzeln behandelt:
Warum musst du die Reihe noch integrieren? was hilft dir das?
Und ja, du darfst, wenn die Reihe glm konvergiert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 29.06.2008 | | Autor: | Tobus |
muss ich nicht die reihe integrieren, damit ich die stammfunktion erhalte ?
wie kann ich das integral jetzt berechnen ? ich stehe gerade auf dem schlauch ;(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 29.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> muss ich nicht die reihe integrieren, damit ich die
> stammfunktion erhalte ?
Die Stammfunktion lässt sich nicth geschlossen angeben (Stichwort: Exponentialintegral).
> wie kann ich das integral jetzt berechnen ?
Gar nicht, denn das Integral divergiert. Für $x>0$ ist [mm] $\bruch{e^x}{x}> \bruch{1}{x} [/mm] >0$. Daher ist
[mm] \limes_{a\rightarrow0+} \integral_{a}^{1}{\bruch{e^{x}}{x} dx} > \limes_{a\rightarrow0+} \integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx} = \limes_{a\rightarrow0+} (\ln 1 - \ln a) = - \limes_{a\rightarrow0+} \ln a = \infty [/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Tobus |
vielen dank !!!
|
|
|
|
