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Forum "Integration" - uneigentliches Doppelintegral
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uneigentliches Doppelintegral: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Di 01.09.2009
Autor: fencheltee

Aufgabe
Berechnen sie Folgendes uneigentliches Doppelintegral:
[mm] \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x*y}dxdy} [/mm]

hallo forenmitglieder,
habe ein problem bei obigem doppelintegral. nach einigen versuchen hab ich als erstes dann die grenzen "umbenannt"
[mm] \integral_{u}^{u+1}{}\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{x*y}dxdy} [/mm]
[mm] =\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(x)\Left|_{u}^{u+1}dy} [/mm]
[mm] =\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(u+1)-\frac{1}{y}*ln(u)dy} [/mm]
[mm] =ln(y)*ln(u+1)-ln(y)*ln(u)\Left|_{u}^{u+1} [/mm]
=$ ln(u+1)*ln(u)-ln(u+1)*ln(u)-ln(u)*ln(u+1)+ln(u)*ln(u) $
[mm] =(ln(u+1)-ln(u))^2 [/mm]
[mm] \limes_{u\rightarrow 0}(ln(u+1)-ln(u))^2=\infty [/mm]

ist das vorgehen korrekt so? und wie macht man _schöne_ grenzen bei einem bereits integrierten term?
danke und gruß
tee

        
Bezug
uneigentliches Doppelintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 01.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen sie Folgendes uneigentliches Doppelintegral:
>  [mm]\integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x*y}dxdy}[/mm]

>  hallo forenmitglieder,
>  habe ein problem bei obigem doppelintegral. nach einigen
> versuchen hab ich als erstes dann die grenzen "umbenannt"
>  
> [mm]\integral_{u}^{u+1}{}\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{x*y}dxdy}[/mm]
>  [mm]=\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(x)\Left|_{u}^{u+1}dy}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(u+1)-\frac{1}{y}*ln(u)dy}[/mm]
>  [mm]=ln(y)*ln(u+1)-ln(y)*ln(u)\Left|_{u}^{u+1}[/mm]
>  =[mm] ln(u+1)*ln(u)-ln(u+1)*ln(u)-ln(u)*ln(u+1)+ln(u)*ln(u)[/mm]
>  
> [mm]=(ln(u+1)-ln(u))^2[/mm]
>  [mm]\limes_{u\rightarrow 0}(ln(u+1)-ln(u))^2=\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> ist das vorgehen korrekt so? und wie macht man _schöne_
> grenzen bei einem bereits integrierten term?
>  danke und gruß
>  tee


Hallo,

eine generelle Umbezeichnung der Grenzen ist
weder nötig noch nützlich. An den Obergrenzen x=1
bzw. y=1 ist ja der Integrand absolut regulär.
Wegen der Uneigentlichkeit an den Untergrenzen
kann man aber zunächst das Doppelintegral

      $\integral_{y=v}^{1}\integral_{x=u}^{1}{\frac{1}{x*y}\ dx\,dy$

für positive u und v betrachten. Dies formt man um zu

      $\integral_{y=v}^{1}\left(\frac{1}{y}*\integral_{x=u}^{1}{\frac{1}{x}\ dx\right)\,dy$

Jetzt die innere und dann die äußere Integration
und schliesslich die Grenzübergänge
für u\downarrow{0} und v\downarrow{0} durchführen.

LG    Al-Chw.





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