uneigentliche Integrale konv. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz. Im Fall der Konvergenz berechne man sie:
a) [mm] \int_{0}^{\infty} x*e^{-2x}\, [/mm] dx |
Hallo, als Ergebnis soll [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] rauskommen.
Ich wollte erstmal nur die Stammfunktion bilden. da habe ich mit der partiellen Integration.
$ [mm] [x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x})] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \int e^{-2x} [/mm] dx $
= $ [mm] [x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x})] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [ [mm] -\bruch{1}{2}e^{-2x})]$
[/mm]
nun habe ich irgendwie Probleme falls es richtig ist diese Terme zusammenzufassen.
= $ [mm] [x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x}$ [/mm] ]
Laut Musterlösung kommen die auf:
[mm] [\bruch{(-2x-1)e^{-2x}}{4}]
[/mm]
kann mir da einer helfen bitte?
LG
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> Man untersuche die folgenden uneigentlichen Integrale auf
> Konvergenz. Im Fall der Konvergenz berechne man sie:
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> a) [mm]\int_{0}^{\infty} x*e^{-2x}\,[/mm] dx
> Hallo, als Ergebnis soll [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommen.
>
> Ich wollte erstmal nur die Stammfunktion bilden. da habe
> ich mit der partiellen Integration.
>
> [mm][x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x})] + \bruch{1}{2} \int e^{-2x} dx[/mm]
>
> = [mm][x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x})] + \bruch{1}{2} [ -\bruch{1}{2}e^{-2x})][/mm]
>
> nun habe ich irgendwie Probleme falls es richtig ist diese
> Terme zusammenzufassen.
>
> = [mm][x*(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) - \bruch{1}{4}e^{-2x}[/mm] ]
Klammere mal [mm] $e^{-2x}$ [/mm] aus und bringe alles auf einen gemeinsamen Nenner.
>
> Laut Musterlösung kommen die auf:
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> [mm][\bruch{(-2x-1)e^{-2x}}{4}][/mm]
>
> kann mir da einer helfen bitte?
>
> LG
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Hallo genau das war ja mein Problem.. kriege es irgendwie nicht hin es auszuklammern, bei mir kommen immer die falschen Werte raus..undzwar:
$ [mm] [x\cdot{}(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x} [/mm] $ =
$ [mm] e^{-2x} [/mm] ( [mm] x*(-\bruch{1}{2}+1)-\bruch{1}{4}+1) [/mm] $ =
$ [mm] e^{-2x} [/mm] ( [mm] x*\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+1) [/mm] $ =
was denke ich falsch wäre...
meine zweite Alternative ist:
$ [mm] e^{-2x} [/mm] ( [mm] x*(-\bruch{1}{2}*1)-\bruch{1}{4}*1) [/mm] $ =
was glaube ich auch falsch wäre...
LG
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Hiho,
> [mm]e^{-2x} ( x*\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+1)[/mm] =
>
> was denke ich falsch wäre...
Warum denkst du das?
Mache doch mal das weiter, was man dir vorgeschlagen hat.
Also: Hauptnenner bilden!
Dann berichtige nebenbei mal noch deinen Fehler: Wie kommst du von
$ [mm] [x\cdot{}(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x} [/mm] $
auf
$ [mm] e^{-2x} [/mm] ( [mm] x\cdot{}(-\bruch{1}{2}+1)-\bruch{1}{4}+1) [/mm] $
Das ist ja gruselig...
Gruß,
Gono
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Hallo, wenn ich
$ [mm] e^{-2x} [/mm] ( [mm] x\cdot{}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+1) [/mm] $ hier weiter mache,
bekomme ich $ [mm] e^{-2x}(\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{4}) [/mm] $ raus und das ist ja falsch... -.-
LG
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Hiho,
> Hallo, wenn ich
>
> [mm]e^{-2x} ( x\cdot{}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+1)[/mm] hier weiter
> mache,
> bekomme ich [mm]e^{-2x}(\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{4})[/mm] raus und
> das ist ja falsch... -.-
>
stimmt. Wie ich sagte, solltest du den Schritt davor nochmal korrigieren, der war falsch.
Seit wann ist denn bitteschön $b*x + c*x = x((b+1) + (c+1)$ ??
[mm] Also:$x\cdot{}(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x} [/mm] $
Nochmal: [mm] e^{-2x} [/mm] ausklammern, diesmal richtig!
Gruß,
Gono
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hmm ich komm mir gerade irgendwie dumm vor, dass ich die e-funktion nicht ausklammern kann ^^
$ [mm] [x\cdot{}(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x} [/mm] $ =
$ [mm] e^{-2x} (x-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}) [/mm] $ =
zusammen gefasst kommt ja aber auch nicht das ergebnis raus...
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 30.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> hmm ich komm mir gerade irgendwie dumm vor, dass ich die
> e-funktion nicht ausklammern kann ^^
>
> [mm][x\cdot{}(-\bruch{1}{2}e^{-2x}) - \bruch{1}{4}e^{-2x}[/mm] =
> [mm]e^{-2x} (x-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})[/mm] =
> zusammen gefasst kommt ja aber auch nicht das ergebnis
> raus...
Wenn ich [mm] e^{-2x} [/mm] ausklammere komme ich auf
[mm] e^{-2x} (-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4})
[/mm]
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mo 30.03.2015 | | Autor: | AragornII |
ja ok ich habs..
$ [mm] e^{-2x} (-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}) [/mm] $ =
$ [mm] 4e^{-2x} [/mm] (-2x-1) $ dann durch 4 teilen und man hat das gewünschte ergebnis oder? ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Di 31.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> ja ok ich habs..
>
> [mm]e^{-2x} (-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4})[/mm] =
>
> [mm]4e^{-2x} (-2x-1)[/mm] dann durch 4 teilen und man hat das
> gewünschte ergebnis oder? ^^
Ganz klares oder!
Deine Gleichung stimmt (mal wieder) hinten und vorne nicht.
Du solltest dringend 5. Klasse Grundschule Distributivgesetz nacharbeiten.....
Laut deiner Gleichung gilt [mm] $\bruch{1}{4} [/mm] = 4$....
Gruß,
Gono
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