uneigentliche Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 09.06.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo!
irgendwie überfordert mich diese Aufgabe hier.
hab keine Ahnung wie ich hier beginne.
Divergiert oder konvergiert das uneigentliche Integral?
[mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{ \wurzel{1+x^3}}
[/mm]
dabei soll laut Aufgabenstellung nicht versucht werden die Stammfunktion von [mm] \f(f(x)) =(1+x^3) [/mm] ^-0,5 zu bestimmen, vielmehr eine geeignete Vergleichsfunktion der Gestalt [mm] \bruch{K}{x^\alpha} [/mm] für f(x) gefunden werden.
für einige ausführliche Lösungsvorschläge danke ich euch jetzt schon mal
grüße
pisty
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Hallo pisty
ich würde mal den "minoranten" integranden [mm] $\frac{1}{\sqrt{2*x^3}}$ [/mm] untersuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 13.06.2005 | | Autor: | pisty |
hallo,
so, habe nun den minoranten [mm] \frac{1}{\sqrt{2\cdot{}x^3}} [/mm] untersucht
und erhalte durch Integration, und einsetzen für 1 einen Wert von [mm] \wurzel{-2} [/mm] =+1,41
und für unendliche positive Werte einen Wert der sich an -0 annähert
was bedeutet das nun auf diese spezielle Fragestellung?
die Frage bringt mich ein wenig durcheinander ....
vielen Dank
"pisty"
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Guten Morgen Pisty!
> so, habe nun den minoranten [mm]\frac{1}{\sqrt{2\cdot{}x^3}}[/mm] untersucht
>
> und erhalte durch Integration, und einsetzen für 1 einen
> Wert von [mm]\wurzel{-2}[/mm] =+1,41
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Na, na, na ... Da ist Dir aber ein böser Vorzeichenfehler unterlaufen!
Das Minuszeichen gehört natürlich vor die Wurzel ...
> und für unendliche positive Werte einen Wert der sich an
> -0 annähert
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du hast also gezeigt, daß folgender Grenzwert existiert:
[mm] $\integral_{1}^{\infty} {\frac{1}{\sqrt{2*x^3}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty}\integral_{1}^{\varepsilon} {\frac{1}{\sqrt{2*x^3}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty}\left[ \ -\wurzel{\frac{2}{x}} \ \right]_{1}^{\varepsilon} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty}\left[ \ - \wurzel{\frac{2}{\varepsilon}} + \wurzel{\frac{2}{1}} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty}\left[ \ - \wurzel{\frac{2}{\varepsilon}} + \wurzel{\frac{2}{1}} \ \right] [/mm] \ = \ 0 + [mm] \wurzel{2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2} [/mm] \ < \ [mm] \infty$
[/mm]
Dieses Integral ja nun eine Minorante zu unserem Ausgangsintegral:
[mm] $\integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{ \wurzel{1+x^3}} [/mm] \ < \ [mm] \integral_{1}^{\infty} {\frac{1}{\sqrt{2*x^3}} \ dx}$
[/mm]
Daraus können wir nun folgern, daß auch auch gilt: [mm] $\integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{ \wurzel{1+x^3}} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{2} [/mm] \ < \ [mm] \infty$
[/mm]
Unser zu untersuchendes uneigentliche Integral existiert also, und der Wert ist nach oben ebenfalls durch [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] beschränkt.
Gruß vom
Roadrunner
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