uneigentlich integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 20.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe folgendes uneigentliches integral zu lösen [mm] :\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*exp(-x^2) dx},wie [/mm] fang ich damit an?also ich dachte vlt.,erstmal [mm] aufteilen,in\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] und dann die stammfunktion bilden und davon den limes für x gegen unendlich anwenden?macht man das so?
danke und gruß
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Das Integral wird sich nicht mit Hilfe einer Stammfunktion lösen lassen, ich würde es mit Taylor / irgendwas anderem zur Abschätzung probieren.
Ansonsten ist die Aufteilung dann glaube ich nicht nötig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 20.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für die hilfe aber mit taylor sollen wir das glaub ich nicht machen,ich wüsste auch nicht den zusammenhang,den haben wir so auch nicht gemacht.geht das nicht so wie ichs geschrieben habe?
gruß
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Hallo mini111,
> hallo,
> danke für die hilfe aber mit taylor sollen wir das glaub
> ich nicht machen,ich wüsste auch nicht den zusammenhang,den
> haben wir so auch nicht gemacht.geht das nicht so wie ichs
> geschrieben habe?
> gruß
Zu berechnen ist [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{x^{2}*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
Berechne statt dessen:
[mm]\left(\integral_{-\infty}^{+\infty}{x^{2}*e^{-x^{2}} dx}\right)^{2}=\integral_{-\infty}^{+\infty}{x^{2}*e^{-x^{2}} dx}*\integral_{-\infty}^{+\infty}{y^{2}*e^{-y^{2}} dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-\infty}^{+\infty}{\integral_{-\infty}^{+\infty}{x^{2}y^{2}*e^{-x^{2}-y^{2}} \ dx} \ dy}[/mm]
Durch Transformation in Polarkoordinaten
[mm]x = r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y = r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
geht dieses Integal über in:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\infty}{r*r^{2}*\cos^{2}\left(\varphi\right)*r^{2}*\sin^{2}\left(\varphi\right)*e^{-r^{2}} \ dr} \ d\varphi}[/mm]
, welches sich jetzt mittels partieller Integration bestimmen läßt.
Natürlich ist hier der Grenzprozeß für [mm]r\rightarrow \infty[/mm] durchzuführen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 20.03.2008 | | Autor: | abakus |
> hallo,
> ich habe folgendes uneigentliches integral zu lösen
> [mm]:\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*exp(-x^2) dx},wie[/mm] fang
> ich damit an?also ich dachte vlt.,erstmal
> [mm]aufteilen,in\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> und dann die stammfunktion bilden und davon den limes für x
> gegen unendlich anwenden?macht man das so?
> danke und gruß
Hallo,
aufgrund der Symmetrie der Funktion ist [mm]\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}=\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
Für die Stammfunktion wirst du vermutlich (eventuell sogar mehrfach?) partiell integrieren müssen, um die Potenz des Faktors [mm] x^2 [/mm] zu verringern.
Gruß
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Do 20.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das wird wieder auf die Fehlerfunktion hinauslaufen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 20.03.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hi!
>
> Das wird wieder auf die Fehlerfunktion hinauslaufen, oder?
Richtig:
[mm]\begin{array}{lcl}
\integral_{-\infty}^{+\infty}x^2 \mathrm{e}^{-x^2}\;dx &=& \integral_{-\infty}^{+\infty}x\cdot x\mathrm{e}^{-x^2}\; dx\\
&=& -\frac{1}{2}x\mathrm{e}^{-x^2}\Big|_{x=-\infty}^{+\infty}+\frac{1}{2}\blue{\integral_{-\infty}^{+\infty}\mathrmm{e}^{-x^2}\;dx}\\
&=& 0+\frac{1}{2}\cdot\blue{\sqrt{\pi}}\\
&=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{array}[/mm]
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