uneig. Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mi 27.08.2008 | | Autor: | schickme |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{ \infty }{ \sin x \* e^{-x} } [/mm] |
(also das x steht noch im Nenner von e (hab das leider nicht so hin bekommen.)
Wie integriere ich das? Ich habe schon alles probiert:
Substitution - aber mit was?
part. Integration - da rechne ich wirklich bis unendliche...
kann mir jemand einen Ansatz geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 27.08.2008 | | Autor: | ONeill |
HAllo!
> [mm]\integral_{0}^{ \infty }{ \sin x \* e^-x }[/mm]
> (also das x
> steht noch im Nenner von e (hab das leider nicht so hin
> bekommen.)
> Wie integriere ich das? Ich habe schon alles probiert:
> Substitution - aber mit was?
> part. Integration - da rechne ich wirklich bis
> unendliche...
Und darin liegtz der Trick. Nach zweimaligem partiellen Integrieren erhälst du deinen Ursprungstherm sowie einen weiteren Therm davor.
Du benennst das Integral einfach mit I.
DAnn steht da
[mm] I=\integral_{0}^{ \infty }{ \sin x \* e^{-x} }
[/mm]
SO dann zweimal Integrieren dann steht da sowas wie
I= irgendwas + oder mal [mm] (-\integral_{0}^{ \infty }{ \sin x \* e^{-x} })
[/mm]
Das kannst du dann auch so schreiben:
I=irgendwas + oder mal (-I)
Das lässt sich dann ganz einfach nach I auflösen. Klingt komplizierter als es ist. Zweimal integrieren und dann siehst du es.
Gruß ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Do 28.08.2008 | | Autor: | schickme |
Hallo ONeill,
danke für deine Antwort!
Du hast Recht, eigentlich ist das eine ganz einfache Aufgabe. Ich habe diesen Trick sogar schon gekonnt (vor ca. 2 Monaten), aber wie es scheint bald schneller vergessen als gelernt 
Auf alle Fälle: Jetzt habe ich es hin bekommen. Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 28.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Aus eigenem Interesse:
wäre die Lösung dann
$ [mm] \integral_{0}^{ \infty }{ \sin x * e^{-x} } [/mm] $ = [mm] \bruch{e^{-x}*(-sin(x)-cos(x))}{2}
[/mm]
Wie macht man das mit der oberen Grenze, wenn sie hier bei den trigonometrischen Funktionen ja stetig alterniert?
Oder ignoriert man das einfach und sagt: egal was darauskommt; die e- Funktion mit negativem Exponenten zieht es hier sowieso gegen 0, so dass die obere Grenze 0 ist.
Damit wäre es:
$ [mm] \integral_{0}^{ \infty }{ \sin x * e^{-x} } [/mm] $ = 0 - [mm] \bruch{e^{-0}*(-sin(0)-cos(0))}{2}
[/mm]
= 0 - [mm] \bruch{1*(0-1)}{2}
[/mm]
= 0 + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Oder liege ich das falsch?
Mit freundlichen Grüßen
Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Do 28.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
Rein formell führt man bei derartigen uneigentlichen Integralen eine Grenzwertbetrachtung ein:
[mm] $$\integral_0^{\infty}{... \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow\infty}\integral_0^{A}{... \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
In diesem Falle verwendet man jedoch, dass gilt [mm] $|\sin(x)| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ bzw. [mm] $|\cos(x)| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Dadurch ist hier der Zähler beschränkt mit $< \ 2$ und durch den Term [mm] $e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$ [/mm] geht der Term gegen Null.
Dein Gesamtgrenzwert stimmt ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Do 28.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Auch hier nochmal vielen Dank.
Ist mir im Nachhinein auch "eingefallen", dass hier die Schreibweise eigentlich fehlerhaft ist.
Aber das ganze aus dem Topic zu kopieren, war an dieser Stelle einfach zu verlockend ... ;)
Das mit den Beschränkungen ist gut zu wissen, danke für den Hinweis.
Ciao, Lg
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