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| Aufgabe | [mm] y=f(x)=(x^3+x^2-1)/(x) [/mm] ist ein Bruch
a)Geben Sie den Definitionsbereich an und bestimmen Sie die Grenzwerte für links- und rechtsseitige Annäherung an die Def.lücke
b) Wie lauten die erste und die zweite Ableitung?
c) Weisen Sie nach, dass es bei x=-1 ein Extremum gibt. Bestimmen Sie dessen Art und Lage und zeigen Sie, dass es keine weiteren Extrema gibt
d) Bestimmen Sie die Lage des einzigen Wendepunktes. Ermitteln Sie die Gleichung p(x) der Asymptotenkurve |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0+h}=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-h}=+\infty
[/mm]
b)
[mm] y'=(2*x^3+x^2+1)/(x^2) [/mm] y' ist korrekt, da zur Kontrolle gegeben
[mm] y''=(2*x^4-2*x)/(x^4)
[/mm]
c)
y'(-1)=0
y''(-1)=4
[mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt. Eingesetzt: y_(-1)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] TP(-1/1)
Nachweis, dass es keine weiteren Extrempunkte gibt:
Polynomdivision: [mm] (2*x^3+x^2+1):(x+1)=2*x^2-x+1
[/mm]
Mit der bekannten Lösungsformel nicht lösbar [mm] \Rightarrow [/mm] keine weiteren Nullstellen in y' und somit auch keine Extrempunkte.
d) Wendepunkt:
y''=0
[mm] 2*x^4-2*x=0
[/mm]
[mm] 2*x^4=2*x
[/mm]
[mm] x^4=(2*x)/2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow [/mm] Wendepunkt bei (1/1)
Asympt.:
[mm] (x^3+x^2-1):(x)=x^2+x-1/x=p(x)
[/mm]
Wäre nett, wenn jemand das kontrollieren könnte. Habe zu dieser Prüfungsaufgabe leider keine Musterlösung.
Vielen Dank schonmal.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Do 08.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
mir ist aufgefallen, bei a) hab ich was vergessen:
D=R/{0}
lim x->0+h und lim x->0-h
die Nullen hat er nicht mit dargestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 08.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]y=f(x)=(x^3+x^2-1)/(x)[/mm] ist ein Bruch
Dann schreib doch:\bruch{x^{3}+x^{2}-1}{x}, das ergibt
[mm] \bruch{x^{3}+x^{2}-1}{x}
[/mm]
> a)Geben Sie den Definitionsbereich an und bestimmen Sie
> die Grenzwerte für links- und rechtsseitige Annäherung an
> die Def.lücke
> b) Wie lauten die erste und die zweite Ableitung?
> c) Weisen Sie nach, dass es bei x=-1 ein Extremum gibt.
> Bestimmen Sie dessen Art und Lage und zeigen Sie, dass es
> keine weiteren Extrema gibt
> d) Bestimmen Sie die Lage des einzigen Wendepunktes.
> Ermitteln Sie die Gleichung p(x) der Asymptotenkurve
> Hallo,
>
> zu dieser Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
>
> a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+h}=-\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-h}=+\infty[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> b)
>
> [mm]y'=(2*x^3+x^2+1)/(x^2)[/mm] y' ist korrekt, da zur Kontrolle
> gegeben
> [mm]y''=(2*x^4-2*x)/(x^4)[/mm]
Stimmt auch, bei f''(x) kannst du aber noch kürzen.
>
> c)
>
> y'(-1)=0
> y''(-1)=4
> [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt. Eingesetzt: y_(-1)=1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> TP(-1/1)
Passt.
>
> Nachweis, dass es keine weiteren Extrempunkte gibt:
>
> Polynomdivision: [mm](2*x^3+x^2+1):(x+1)=2*x^2-x+1[/mm]
> Mit der bekannten Lösungsformel nicht lösbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> keine weiteren Nullstellen in y' und somit auch keine
> Extrempunkte.
Auch das ist okay.
>
> d) Wendepunkt:
> y''=0
> [mm]2*x^4-2*x=0[/mm]
> [mm]2*x^4=2*x[/mm]
> [mm]x^4=(2*x)/2[/mm]
> [mm]\Rightarrow x^3=1 \Rightarrow[/mm] Wendepunkt bei (1/1)
Das stimmt zwar, aber du hast im letzen Schritt durch x geteilt, so dass dir evtl die Lösung x=0 "durch die Lappen gegangen" wäre.
Wenn du [mm] f''(x)=\bruch{2x^{4}-2x}{x^{4}} [/mm] noch zu [mm] \bruch{2x^{3}-2}{x^{3}} [/mm] kürzt, hast du das Problem nicht.
Ach ja: Hast du eine hinreichende Bedingung für den Wendepunkt abgeprüft?
>
> Asympt.:
>
> [mm](x^3+x^2-1):(x)=x^2+x-1/x=p(x)[/mm]
Was ist p(x). So, wie du es hier schreibst, ist es nur eine Umformung von f(x).
Und was ist mit der Def-Lücke x=0? Ist das eine Polstelle mit Asymptote?
>
> Wäre nett, wenn jemand das kontrollieren könnte. Habe zu
> dieser Prüfungsaufgabe leider keine Musterlösung.
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> Gruß
>
Marius
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> Hallo
>
> > [mm]y=f(x)=(x^3+x^2-1)/(x)[/mm] ist ein Bruch
>
> Dann schreib [mm]doch:[code]\bruch{x^{3}+x^{2}-1}{x}[/code],[/mm]
> das ergibt
> [mm]\bruch{x^{3}+x^{2}-1}{x}[/mm]
>
> > a)Geben Sie den Definitionsbereich an und bestimmen Sie
> > die Grenzwerte für links- und rechtsseitige Annäherung an
> > die Def.lücke
> > b) Wie lauten die erste und die zweite Ableitung?
> > c) Weisen Sie nach, dass es bei x=-1 ein Extremum gibt.
> > Bestimmen Sie dessen Art und Lage und zeigen Sie, dass es
> > keine weiteren Extrema gibt
> > d) Bestimmen Sie die Lage des einzigen Wendepunktes.
> > Ermitteln Sie die Gleichung p(x) der Asymptotenkurve
> > Hallo,
> >
> > zu dieser Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
> >
> > a)
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\0+h}=-\infty[/mm]
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\0-h}=+\infty[/mm]
>
>
>
> >
> > b)
> >
> > [mm]y'=(2*x^3+x^2+1)/(x^2)[/mm] y' ist korrekt, da zur Kontrolle
> > gegeben
> > [mm]y''=(2*x^4-2*x)/(x^4)[/mm]
>
> Stimmt auch, bei f''(x) kannst du aber noch kürzen.
OK, hab ich übersehen.
>
> >
> > c)
> >
> > y'(-1)=0
> > y''(-1)=4
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt. Eingesetzt: y_(-1)=1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > TP(-1/1)
>
> Passt.
>
> >
> > Nachweis, dass es keine weiteren Extrempunkte gibt:
> >
> > Polynomdivision: [mm](2*x^3+x^2+1):(x+1)=2*x^2-x+1[/mm]
> > Mit der bekannten Lösungsformel nicht lösbar
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> > keine weiteren Nullstellen in y' und somit auch keine
> > Extrempunkte.
>
> Auch das ist okay.
>
> >
> > d) Wendepunkt:
> > y''=0
> > [mm]2*x^4-2*x=0[/mm]
> > [mm]2*x^4=2*x[/mm]
> > [mm]x^4=(2*x)/2[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x^3=1 \Rightarrow[/mm] Wendepunkt bei (1/1)
>
> Das stimmt zwar, aber du hast im letzen Schritt durch x
> geteilt, so dass dir evtl die Lösung x=0 "durch die Lappen
> gegangen" wäre.
> Wenn du [mm]f''(x)=\bruch{2x^{4}-2x}{x^{4}}[/mm] noch zu
> [mm]\bruch{2x^{3}-2}{x^{3}}[/mm] kürzt, hast du das Problem nicht.
> Ach ja: Hast du eine hinreichende Bedingung für den
> Wendepunkt abgeprüft?
>
>
Ich weiß nicht ob die Bedinung gefordert ist. Da es ja heißt "Bestimmen Sie die Lage des einzigen Wendepunktes." dachte ich das brauchts nicht, da ja der gefundene Punkt der Wendepunkt sein muss wenn es (nur) einen ganz sicher gibt. Aber werde zukünftig das noch abprüfen.
> >
> > Asympt.:
> >
> > [mm](x^3+x^2-1):(x)=x^2+x-1/x=p(x)[/mm]
>
> Was ist p(x). So, wie du es hier schreibst, ist es nur eine
> Umformung von f(x).
> Und was ist mit der Def-Lücke x=0? Ist das eine Polstelle
> mit Asymptote?
>
Hmm... naja, laut Aufgabe soll die Asymptotenkurve bestimmt werden. Gemäß meiner Formelsammlung führe ich hierzu eine Polynomdivison Zähler/Nenner der Funktion durch. Das habe ich gemacht. Was wäre denn sonst noch als Lösung denkbar?
> >
> > Wäre nett, wenn jemand das kontrollieren könnte. Habe zu
> > dieser Prüfungsaufgabe leider keine Musterlösung.
> >
> > Vielen Dank schonmal.
> >
> > Gruß
> >
>
> Marius
Besten Dank Marius.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 08.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jimmytimmy!
> > > Asympt.:
> > >
> > > [mm](x^3+x^2-1):(x)=x^2+x-1/x=p(x)[/mm]
> Hmm... naja, laut Aufgabe soll die Asymptotenkurve bestimmt
> werden. Gemäß meiner Formelsammlung führe ich hierzu
> eine Polynomdivison Zähler/Nenner der Funktion durch. Das
> habe ich gemacht. Was wäre denn sonst noch als Lösung denkbar?
Diese Polynomdivision ist schon sehr gut. Nun musst Du halt den ganzrationalen Term nehmen und dies ist Deine Asymptotenfunktion.
Gruß
Loddar
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Also dann [mm] x^2+x [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Do 08.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jimmytimmy!
Ja, das wäre die Asymptotenfunktion.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 08.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
Alles klar, vielen Dank.
Schönen Abend.
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