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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Di 29.07.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bestimmen sie das Unbestimmte Integral derFunktion :
1)f(x)= x*sin x
[mm] 2)g(x)=x^2*cos [/mm] x
Ergebnis das Sie erhalten müssen :1) F(x) -x*cos x+sin x+c
und 2) G(x)= [mm] x^2*sin [/mm] x +2x*cos x-2 sin x+c
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ich versteh den Weg nicht ganz wie man auf F(x) kommt oder G(x)
Im Lösungsheft steht:
[mm] F(x)=\integral_{a}^{b}{x *sin x dx } [/mm] .Wir setzen u(x)= x UND v´(x)=sin x
wieso ist v´ = sin x????
daraus folgt dan F(x)=x*(-cos x)- [mm] \integral_{a}^{b}{1*(-cos x) dx} [/mm]
=-x *cos x+ sin x
kan mir das bitte einer mal genau erklären??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Di 29.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bestimmen sie das Unbestimmte Integral derFunktion :
> 1)f(x)= x*sin x
> [mm]2)g(x)=x^2*cos[/mm] x
> Ergebnis das Sie erhalten müssen :1) F(x) -x*cos x+sin
> x+c
> und 2) G(x)= [mm]x^2*sin[/mm] x +2x*cos x-2 sin x+c
>
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> ich versteh den Weg nicht ganz wie man auf F(x) kommt oder
> G(x)
> Im Lösungsheft steht:
> [mm]F(x)=\integral_{a}^{b}{x *sin x dx }[/mm] .Wir setzen u(x)=
> x UND v´(x)=sin x
> wieso ist v´ = sin x????
> daraus folgt dan F(x)=x*(-cos x)-
> [mm]\integral_{a}^{b}{1*(-cos x) dx}[/mm]
> =-x *cos x+ sin x
>
> kan mir das bitte einer mal genau erklären??
beschäftige Dich einfach mit der ![[]](/images/popup.gif) partiellen Integration (klick it):
[mm] $$(\star)\mbox{ }\int u(x)\,v'(x)\;dx=u(x)*v(x)-\int u'(x)\,v(x)\;dx$$
[/mm]
Wenn man [mm] $\int f(x)\;dx=F$ [/mm] (d.h. [mm] $(\int f(t)\;dt)(x)=F(x)$ [/mm] bezeichnet den Funktionswert der Stammfunktion von $f$ an der Stelle $x$) als Notation für eine Stammfunktion von $f$ benutzt (sofern existent), so rechnet man ohne (hier unnötige) Konstanten.
(Strenggenommen müsste/könnte/sollte man [mm] $(\star)$ [/mm] dann eigentlich so schreiben, aber ich denke, das ist nur verwirrender:
[mm] $(\int u(t)\,v'(t)\;dt)(x)=u(x)*v(x)-(\int u'(t)\,v(t)\;dt)(x)$.[red])[/red]
[/mm]
Wenn Du nun [mm] $\int x\,\sin(x)\;dx$ [/mm] zu berechnen hast und das mit der partiellen Integration tust, so hast Du mittels eines Blickes in [mm] $(\star)$ [/mm] zwei Strategien:
1. Strategie:
Du setzt $u(x)=x$ und [mm] $v'(x)=\sin(x)$ [/mm] und hoffst, dass man mit der p.I. weiterkommt...
2. Strategie:
Du setzt [mm] $u(x)=\sin(x)$ [/mm] und $v'(x)=x$ (das kannst Du, weil die Multiplikation kommutativ ist, d.h. hier, weil [mm] $x\,*\,sin(x)=(\sin(x))*x$ [/mm] stets gilt...)...
Die 2. Strategie wird das ganze nur komplizierter machen. Probiere es mal aus, da solltest Du auch selbst erkennen, dass man damit an eine Stelle gerät, wo man eine noch kompliziertere Stammfunktion berechnen müßte.
Also bleiben wir bei der ersten Strategie:
Wenn man $u(x)=x$ setzt, so ist $u'(x)=1$. Mit [mm] $v'(x)=\sin(x)$ [/mm] sollte Dir bekannt sein, dass [mm] $\int v'(x)\;dx=\int \sin(x)\;dx=-\,\cos(.)$ [/mm] gilt, mit anderen Worten:
Mit [mm] $v(x)=\,-\,\cos(x)$ [/mm] ist $v$ eine Stammfunktion von [mm] $v'(.)=\sin(.)$. [/mm] Setze das mal alles in [mm] $(\star)$ [/mm] ein und bedenke, dass [mm] $\int u'(x)\,v(x)\;dx=\int 1\,*\,(-\cos(x))\;dx=-\int \cos(x)\;dx=\,-\,\sin(.)$ [/mm] gilt:
[mm] $$\int \underbrace{x}_{=u(x)}*\,\underbrace{\sin(x)}_{=v'(x)}\;dx=\underbrace{x}_{=u(x)}*\underbrace{(-\,\cos(x))}_{=v(x)}\;-\;\int \underbrace{1}_{=u'(x)}*\underbrace{(-\,\cos(x))}_{=v(x)}\;dx$$
[/mm]
Damit hast Du dann eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto x*\sin(x)$ [/mm] gefunden, alle anderen unterscheiden sich von dieser nur um eine additive Konstante (Funktion) und so entsteht die erste Behauptung.
Gruß,
Marcel
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