unbest. Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Do 10.04.2008 | | Autor: | kam |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die unbestimmten Integrale...
Aufgabe 1
[mm] \integral \bruch{x^2}{\wurzel((1-x))}dx
[/mm]
Aufgabe 2
[mm] \integral \bruch{x}{\wurzel[4](x+2)}dx [/mm] |
Hi,
so langsam verliere ich den Spaß an der Integralrechnung. Mein Problem ist, dass ich in beiden Fällen du=dx erhalte und mir somit die Möglichkeit zum vereinfachen (kürzen) fehlt.
zu 1.)
[mm] \integral \bruch{x^2}{\wurzel((1-x))}dx [/mm]
Hier substituiere ich wie folgt: u=1-x ; x=u+1 ; [mm] \bruch{du}{dx}=1\ [/mm] ; du=dx
Eingesetzt erhalte ich: [mm] \integral \bruch{(u+1)^2}{\wurzel(u)}du \to \integral (u+1)^2*u^\left( -\bruch{1}{2} \right)
[/mm]
zu 2.)
[mm] \integral \bruch{x}{\wurzel[4](x+2)}dx [/mm]
Hier substituiere ich wie folgt: u=x+2 ; x=u-2 ; [mm] \bruch{du}{dx}=1\ [/mm] ; du=dx
Eingesetzt erhalte ich: [mm] \integral \bruch{u-2}{\wurzel[4]u}du \to \integral (u-2)*u^\left( -\bruch{1}{4} \right)
[/mm]
Wie rechne ich jetzt weiter? Ein Tipp zu einer der Aufgaben wäre schon super, da es sicher bei beiden in etwa die gleiche Lösung ist.
Sorry das ich euch hier soviel Mühen bereite, aber es will einfach nicht in meinem Kopf.
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Hallo!
Versuche bei der ersten Aufgabe die Substitution: [mm] z=\bruch{1}{\wurzel{1-x}}
[/mm]
Oder du machst es so:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{(u-1)²}{\wurzel{u}} du}=\integral_{}^{}{\bruch{u²-2u+1}{\wurzel{u}} du}=\integral_{}^{}{\bruch{u²}{u^{0,5}}-\bruch{2u}{u^{0,5}}+\bruch{1}{u^{0,5}} du}=\integral_{}^{}{u^{1,5}-2\cdot u^{0,5}+ u^{-0,5} du} [/mm] Und das ist nun einfach zu integrieren.
Das selbe kannst du übrigens bei der 2 aufgabe machen
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | kam |
Wie würde das denn bei der Substitution mit [mm] u=\bruch{1}{ \wurzel(1-x)} [/mm] aussehen? Bis jetzt habe ich immer nur mit einfachen Zahlen substituiert.
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Hallo!
Dann hätten wir [mm] z=\bruch{1}{\wurzel{1-x}} \Rightarrow dz=\bruch{1}{2\cdot(1-x)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\cdot\integral_{}^{}{\bruch{(1-z^{-2})²}{z²} dz} [/mm] Und nun substituieren wir nochmal [mm] s=\bruch{1}{s} \Rightarrow ds=-\bruch{1}{s²}=s^{-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2\cdot\integral_{}^{}{(1-s²)² ds}= [/mm] das nun ausmultiplizieren und dann gliedweise inegrieren und zum schluss [mm] 2\times [/mm] resubstituieren. Dieser Weg ist wie ich finde komplizierter das sehe ich nun ein  Also mach es mit deiner Substitution und folge dann meinem Tip.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 10.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
beide Integrale lassen sich mit partieller Integration einfach lösen:
[mm] $\integral x^2*(1-x)^{-\bruch{1}{2}} \;dx= -2*x^2*(1-x)^{\bruch{1}{2}}+4*\integral x*(1-x)^{\bruch{1}{2}}\;dx [/mm] $
$= [mm] -2*x^2*(1-x)^{\bruch{1}{2}}-\bruch{8}{3}x*(1-x)^{\bruch{3}{2}}+\bruch{8}{3}*\integral (1-x)^{\bruch{3}{2}}+ \;dx [/mm] $
$= [mm] -2*x^2*(1-x)^{\bruch{1}{2}}-\bruch{8}{3}x*(1-x)^{\bruch{3}{2}}-\bruch{16}{15}* (1-x)^{\bruch{5}{2}}+C [/mm] $
[mm] $=-\bruch{2}{15}*\wurzel{1-x}*\left(3x^2+4x+8\right)+C$
[/mm]
Das 2. Integral genauso.
LG, Martinius
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Hallo Tyskie,
da stimmt was mit den $s$ und $z$ nicht, da hast du dich verschrieben...
es ist [mm] $s:=\frac{1}{\red{z}}$ [/mm] usw.
Hallo kam,
Wenn ihr direkt [mm] $s:=\sqrt{1-x}$ [/mm] substituiert, spart ihr die zweite Substitution und kommt direkt auf das Integral [mm] $-2\int{(1-s^2)^2 \ ds}$ [/mm] bzw. [mm] $-2\int{(1-2s^2+s^4) \ ds}$
[/mm]
Mit [mm] $z=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ [/mm] und [mm] $s=\frac{1}{z}$ [/mm] folgt doch direkt [mm] $s=\sqrt{1-x}$ [/mm] 
Gruß
schachuzipus
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