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(un)abhängig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Fr 03.08.2007
Autor: Steffy

Aufgabe
Eine ideale Münze wird zweimal geworfen.Man betrachte folgende Zufallsvariablen:
X gibt an, wie oft "Wappen" auftritt.
Y gibt an, wie oft "Zahl" auftritt.
V = |X-Y|
W = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls beim ersten Wurf Wappen auftritt} \\ 1, & \mbox{sonstige} \end{cases} [/mm]

Sind X,V bzw. X,W bzw. V,W unabhängig?

Hallo Zusammen,

zunächst habe ich eine Wertetabelle mit den X, V und W in Abhängigkeit von (ww), (zw), (wz) und (zz) aufgestellt.


Leider weiß ich nun nicht, wie ich weiter vorgehen muss.


Könnte mir da vielleicht jemand bitte weiter helfen???


Steffy

        
Bezug
(un)abhängig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Fr 03.08.2007
Autor: rabilein1

Die Sache mit der Wertetabelle ist schon mal sehr gut.

Glücklicherweise gibt es hier ja nicht allzu viele Varianten: Es gibt nur zwei Würfe, und pro Wurf gibt es nur zwei Möglichkeiten.

Wann sind zwei Ereignisse voneinander unabhängig? = Sie sind unabhängig, wenn gilt:
p(A)*p(B)=p(A [mm] \cap [/mm] B)

So, nun stelle folgende Tabellen auf:  X,V bzw. X,W bzw. V,W
und dann prüfe anhand des obigen Kriteriums, ob Abhängigkeit oder Unahängigkeit vorliegt.

Bezug
                
Bezug
(un)abhängig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Fr 03.08.2007
Autor: Steffy

Hallo,

könntest du mir bitte ein Beispiel dafür geben??


Irgendwie weiß ich nicht, wie ich da vorgehen muss.


Danke.

Steffy

Bezug
                        
Bezug
(un)abhängig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Fr 03.08.2007
Autor: rabilein1

Ich gebe dir mal ein Beispiel (das allerdings nichts direkt mit deiner Aufgae zu tun hat):

Du hast zwei Ereingnisse A und B. Das Gegenereignis dazu ist jeweils [mm] \overline{A} [/mm] bzw. [mm] \overline{B} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hinter bzw. unter dem Doppelstrich steht jeweils die Wahrscheinlichkeit für A,  [mm] \overline{A}, [/mm]  B  und  [mm] \overline{B} [/mm]

Da, wo sich A und B schneiden, das ist die Wahrscheinlichkeit für A [mm] \cap [/mm] B.

In diesem Fall ist p(A)*p(B)=0.35 und p(A [mm] \cap [/mm] B)=0.3

Also sind die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
(un)abhängig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 03.08.2007
Autor: Steffy

Wenn ich den Fall nehmen, dass zweimal Wappen fällt, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit [mm] P({w,w})=\bruch{1}{4} [/mm]

Die Wahrscheinlichkeit P(X=2) beträgt [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

Stimmt folgende Wahrscheinlichkeit: [mm] P(V=2)=\bruch{1}{2}? [/mm]

Auch wenn Wappen 2mal gefallen ist, nimmt man doch in dem Fall nicht [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

=> P(X=2) [mm] \cdot [/mm] P(V=2) = [mm] \bruch{1}{4} \cdot \bruch{1}{2} [/mm]

Aber wieviel beträgt nun [mm] P(X=2)\cap [/mm] P(V=2)? Und wie kommt man darauf?

Ich seh momentan echt voll auf dem Schlau und komm nicht weiter :-(

Bezug
                                        
Bezug
(un)abhängig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Fr 03.08.2007
Autor: Blech


> Wenn ich den Fall nehmen, dass zweimal Wappen fällt, dann
> ist doch die Wahrscheinlichkeit [mm]P({w,w})=\bruch{1}{4}[/mm]

Ja

> Die Wahrscheinlichkeit P(X=2) beträgt [mm]\bruch{1}{4}[/mm]

Ja.
  

> Stimmt folgende Wahrscheinlichkeit: [mm]P(V=2)=\bruch{1}{2}?[/mm]

Ja.

> Aber wieviel beträgt nun [mm]P(X=2)\cap[/mm] P(V=2)? Und wie kommt
> man darauf?

Das muß [mm]P(X=2 \cap V=2) = P(\{\omega : X(\omega) = 2\}\cap \{\omega : V(\omega) = 2\})[/mm] sein, man kann nur Mengen schneiden.

EDIT: (ich hab's nicht verwendet, aber falls Du noch Interesse an der Berechnung hast)
[mm]\{\omega: X(\omega) = 2 \} = \{(w,w)\}\quad \{\omega: V(\omega) = 2 \} = \{(w,w), (z,z)\}[/mm]
[mm]\Rightarrow X=2 \cap V=2 = \{(w,w)\}[/mm]

>  
> Ich seh momentan echt voll auf dem Schlau und komm nicht
> weiter :-(

Ich mach die Wkeit von Schnittmengen meist mit bedingter Wahrscheinlichkeit. Damit ist es für die Unabhängigkeit am einfachsten, es auch gleich über bedingte Wkeit zu machen. Für unabh. A, B gilt:

[mm]P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)[/mm]

X,V:
[mm]P(X=0|V=0)=0 \neq P(X=0)=1/4 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Ist X=0, so muß V=2 sein, da aus X=0: Y=2 folgt)

X,W:
[mm]P(X=0|W=0)=0 \neq P(X=0)= 1/4 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Die Wkeit von 0 mal Wappen unter der Bedingung, daß der erste Wurf Wappen war)

V,W
[mm]P(W=0|V=0)=P((w,z)) = 1/4 \neq P(W=0)= 1/2 \Rightarrow[/mm] abhängig
(Wenn der erste Wurf Wappen ist, muß der zweite Zahl sein, sonst wäre V=2)

Bezug
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