umgekehrte Dreieckungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 25.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie für a,b [mm] \in \IR
[/mm]
||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b| |
Anstelle des Standartbeweises über die Dreieckungleichung hab ich im Internet einen anderen Beweis gefunden, wo ich mich frage ob er stimmt!
|a| [mm] \ge [/mm] a
[mm] \sqrt{a^2}= [/mm] |a|
[mm] (|a-b|)^2 =(a-b)^2=a^2 [/mm] - [mm] 2ab+b^2=(|a|)^2 [/mm] - 2ab + [mm] (|b|)^2 \ge (|a|)^2 [/mm] - 2|a||b| + [mm] (|b|)^2 [/mm] = [mm] (|a|-|b|)^2
[/mm]
=>||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|
Bei dem Beweis ist mir nicht klar, wie man von der Richtigkeit der Quadrate schließen kann auf die Richtigkeit ohne Quadrate. Das |a-b|>0 ist, ist klar. Aber |a|-|b| kann doch durchaus kleiner also 0 sein? Also gilt der Folgepfeil nur wenn |a| [mm] \ge [/mm] |b| ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 25.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Zeigen Sie für a,b [mm]\in \IR[/mm]
> ||a|-|b|| [mm]\le[/mm] |a-b|
> |a| [mm]\ge[/mm] a
> [mm]\sqrt{a^2}=[/mm] |a|
> [mm](|a-b|)^2 =(a-b)^2=a^2[/mm] - [mm]2ab+b^2=(|a|)^2[/mm] - 2ab + [mm](|b|)^2 \ge (|a|)^2[/mm]
> - 2|a||b| + [mm](|b|)^2[/mm] = [mm](|a|-|b|)^2[/mm]
> =>||a|-|b|| [mm]\le[/mm] |a-b|
>
> Bei dem Beweis ist mir nicht klar, wie man von der
> Richtigkeit der Quadrate schließen kann auf die
> Richtigkeit ohne Quadrate. Das |a-b|>0 ist, ist klar. Aber
> |a|-|b| kann doch durchaus kleiner also 0 sein?
Ja.
> Also gilt
> der Folgepfeil nur wenn |a| [mm]\ge[/mm] |b| ist.
Der besagte Folgepfeil stimmt stets.
Aus
[mm] $|a-b|^2\ge(|a|-|b|)^2$
[/mm]
folgt mit der Eigenschaft der Quadratwurzel-Funktion [mm] $[0,\infty)\to\IR,\quad x\mapsto\sqrt{x}$, [/mm] (streng) monoton wachsend zu sein, die Ungleichung
[mm] $\sqrt{|a-b|^2}\ge\sqrt{(|a|-|b|)^2}$.
[/mm]
Unter Berücksichtigung der Regel [mm] $\sqrt{y^2}=|y|$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] erhalten wir also wie gewünscht
[mm] $|a-b|\ge [/mm] ||a|-|b||$.
(Allgemeiner gilt für alle reellen Zahlen [mm] $c,d\in\IR$ [/mm] die Äquivalenz
[mm] $c^2\ge d^2\iff|c|\ge|d|$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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