Übungsserie 4, Aufgabe 1 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | IV-1: a) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung [mm] (z-3i)^{6} [/mm] + 64 = 0.
b) Sei [mm] P(z)=z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}+4z. [/mm] Zerlegen Sie P in Linearfaktoren und berechnen Sie P(1+i). |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \begin{matrix}
(z - 3i)^6 &=& - 64$ \\
z - 3i &=& \wurzel[6]{-64} \\
z - 3i &=& \pm 2i \\
\end{matrix}
[/mm]
[mm] $z_1 [/mm] = 5i$
[mm] $z_2 [/mm] = i$
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Hallo Kimmel,
> [mm]\begin{matrix} (z - 3i)^6 &=& - 64$ \\
z - 3i &=& \wurzel[6]{-64} \\
z - 3i &=& \pm 2i \\
\end{matrix}[/mm]
Nein, das geht so nicht, es gibt 6 Lösungen!
Du musst schon die Moivreformel nehmen oder in Exponentialschreibweise umschreiben.
Hilfreich ist es, zunächst [mm]w:=z-3i[/mm] zu substituieren und [mm]w^6=-64[/mm] zu lösen.
> [mm]z_1 = 5i[/mm]
> [mm]z_2 = i[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo schachuzipus,
Sieht so aus, als müsste ich das noch nachlernen.
Ich kenne beide Formen noch nicht...
(wenn das, was in Wikipedia steht, richtig ist)
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Hallo nochmal,
jo, was ich da so als Exponentialform bezeichnet habe, heißt Polarform.
Schaue dir bei wiki-komplexe Zahlen unter 6.2 mal "Wuzeln" an ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 08.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Nachdem ich das fehlende Wissen nachgeholt habe, hoffe ich, dass das jetzt ok ist.
[mm] $(z-3i)^6 [/mm] = -64 $
Sei $ w:= z - 3i $
[mm] $\Rightarrow w^6 [/mm] = -64$
$w = [mm] \wurzel[6]{|-64|} [/mm] * i* [mm] \exp \left( \frac{\pi}{6} + k * \frac{2 \pi}{6} \right) \qquad [/mm] k [mm] \in {\{0,1,2,3,4,5}\}$
[/mm]
[mm] $w_1 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{ \pi }{6} \right) + i * \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( \frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + i [mm] \Rightarrow z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + 4i$
[mm] $w_2 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{3\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{3\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( 0 + i \right) [/mm] = 2i [mm] \Rightarrow z_2 [/mm] = 5i$
[mm] $w_3 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + i [mm] \Rightarrow z_3 [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + 4i $
[mm] $w_4 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] - i [mm] \Rightarrow z_4 [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + 2i$
[mm] $w_5 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{9\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{9\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( 0 - i \right) [/mm] = -2i [mm] \Rightarrow z_5 [/mm] = i$
[mm] $w_6 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right) - i * \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( \frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] - i [mm] \Rightarrow z_6 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + 2i$
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Hallo Kimmel,
> Nachdem ich das fehlende Wissen nachgeholt habe, hoffe ich,
> dass das jetzt ok ist.
>
> [mm](z-3i)^6 = -64[/mm]
>
> Sei [mm]w:= z - 3i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow w^6 = -64[/mm]
>
> [mm]w = \wurzel[6]{|-64|} * i* \exp \left( \frac{\pi}{6} + k * \frac{2 \pi}{6} \right) \qquad k \in {\{0,1,2,3,4,5}\}[/mm]
>
> [mm]w_1 = 2 \left( \cos \left( \frac{ \pi }{6} \right) + i * \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \wurzel{3} + i \Rightarrow z_1 = \wurzel{3} + 4i[/mm]
>
> [mm]w_2 = 2 \left( \cos \left( \frac{3\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{3\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( 0 + i \right) = 2i \Rightarrow z_2 = 5i[/mm]
>
> [mm]w_3 = 2 \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\wurzel{3} + i \Rightarrow z_3 = -\wurzel{3} + 4i[/mm]
>
> [mm]w_4 = 2 \left( \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = -\wurzel{3} - i \Rightarrow z_4 = -\wurzel{3} + 2i[/mm]
>
> [mm]w_5 = 2 \left( \cos \left( \frac{9\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{9\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( 0 - i \right) = -2i \Rightarrow z_5 = i[/mm]
>
> [mm]w_6 = 2 \left( \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right) - i * \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = \wurzel{3} - i \Rightarrow z_6 = \wurzel{3} + 2i[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Do 08.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Okay, danke.
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Ich hätte hierzu eine Frage. Die Exponentialfunktion kenne ich nur mit [mm] e^{ix} [/mm] also müsste bei dir das i in den Exponenten.
Meine eigentliche Frage aber ist, wie ihr auf [mm] \pi [/mm] bekommen seit für das Argument von w in der Formel [mm] \frac{\varphi+2\pi k}{6} [/mm] für [mm] \varphi.
[/mm]
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Hallo MN,
> Ich hätte hierzu eine Frage. Die Exponentialfunktion kenne
> ich nur mit [mm]e^{ix}[/mm] also müsste bei dir das i in den
> Exponenten.
Da hast du recht, das ist Kimmel in seiner Rechnung wohl "verrutscht", er hat es nachher bei der Umwandlung in die trigonometrische Form aber wieder richtig verarbeitet - vermutlich was das also nur ein Tippfehler ...
>
> Meine eigentliche Frage aber ist, wie ihr auf [mm]\pi[/mm] bekommen
> seit für das Argument von w in der Formel
> [mm]\frac{\varphi+2\pi k}{6}[/mm] für [mm]\varphi.[/mm]
[mm]\pi[/mm] ist nicht das Argument von [mm]w[/mm] sondern von [mm]w^6[/mm]
Es ist [mm]w^6=-64[/mm], das liegt also auf der negativen reellen Achse. Da kannst du doch das Argument im Koordinatensystem ablesen.
[mm]w^6[/mm] schließt mit der (positiven) x-Achse einen Winkel von [mm]180°[/mm], also [mm]\pi[/mm] ein.
Auf die verschiedenen Argumente der [mm]w_k[/mm] kommt man dann mit der Moivreformel ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 08.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Linearfaktorzerlegung:
$ \ P(z) = z*(z+1)*(z+2)*(z-(1+i))*(z-(1-i))$
Ich habe das mit dem Horner-Schema aufgestellt.
Gibt es einen einfacheren Weg?
$\ P(1+i) = 0$, da $ \ 1+i $ eine Nullstelle ist .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Auch hier danke!
Hm, Polynomdivision. Sieht nach mehr Arbeit aus.
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Ich habe das jetzt mit der Polynomdivision versucht und bin gescheitert, denn ich weiß nicht wie ich [mm] z^5 [/mm] durch (1+i) teilen soll.
$z = x + iy$
[mm] \frac{z^5}{1+i}
[/mm]
= [mm] \frac{z^5(1-i)}{(1+i)(1-i)}
[/mm]
= [mm] \frac{z^5(1-i)}{1-i+i-i^2}
[/mm]
= [mm] \frac{z^5(1-i)}{(1+i)(1-i)}
[/mm]
= [mm] \frac{z^5(1-i)}{2}
[/mm]
Das bringt mich aber auch nicht weiter. Könnt Ihr mir auf die Sprünge helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Du musst hier doch wie folgt dividieren:
[mm]\left(z^5+...\right) \ : \ \left[z-(1+i)\right] \ = \ ...[/mm]
Aber vor der  Polynomdivision solltest Du auch erst $z_$ ausklammern.
Gruß
Loddar
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Okay, wenn ich z ausklammer, dann habe ich:
[mm] z(z^4+z^3-2z^2+2z+4):(1+i)= [/mm] ...
Mein erster Schritt der Polynomdivision wäre aber immernoch:
[mm] z^4/(1+i) [/mm] ... und da stellt sich mir die selbe Frage wie davor.
Wie teile das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Wie teile das?
Indem Du vielleicht meine obige Antwort etwas aufmerksamer und langsamer durchliest.
Gruß
Loddar
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Okay, dann stellt sich mir die Frage wie du auf den Divisor $z-(1+i)$ kommst? Auf Anhieb könnte ich jetzt nicht sagen, "ahh ich muss durch $z-(1+i)$ teilen". Wie bist Du/Ihr auf den gekommen?
Edit:
Ich kenne das nur, dass man eine Nullstelle raten muss, aber nur weil in der Aufgabenstellung steht, dass man danach auch noch $P(1+i)$ ausrechnen soll heißt das ja nicht, dass man da eine Nullstelle hat.
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wir haben den Term
[mm] z^5 [/mm] + [mm] z^4 [/mm] - 2 * [mm] z^3 [/mm] + 2 * [mm] z^2 [/mm] + 4 * z
Da ich hier zumindest ein z ausklammern kann teile ich dadurch.
[mm] (z^5 [/mm] + [mm] z^4 [/mm] - 2 * [mm] z^3 [/mm] + 2 * [mm] z^2 [/mm] + 4 * z) : z = [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^3 [/mm] - 2 * [mm] z^2 [/mm] + 2 * z + 4
Über eine Wertetabelle bekomme ich die weiteren ganzzahligen Nullstellen bei -2 und -1 durch die ich auch teile.
[mm] (z^4 [/mm] + [mm] z^3 [/mm] - 2 * [mm] z^2 [/mm] + 2 * z + 4) : (z + 2) = [mm] z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + 2
[mm] (z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + 2) : (z + 1) = [mm] z^2 [/mm] - 2 * z + 2
Letztere quadratische Gleichung gibt nur noch zwei Komplexe Nullstellen bei (1 - i) oder (1 + i)
Daher ist die Faktorzerlegung:
z * (z + 2) * (z + 1) * (z - (1 - i)) * (z - (1 + i))
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
