Übungsserie 2, Aufgabe 3 < VK 58: Alg 1 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | II-3: Sei $G$ eine endliche Gruppe und [mm] $\phi \in \operatorname{Aut} [/mm] G$ fixpunktfrei, d.h. aus [mm] $\phi(a) [/mm] = a$ für ein $a [mm] \in [/mm] G$ folgt $a = e$. Zeigen Sie: zu jedem $a [mm] \in [/mm] G$ ex. genau ein [mm] $b\in [/mm] G$ mit $a = [mm] b^{-1} \phi(b)$.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zuerst [mm] $\psi [/mm] : [mm] b\mapsto b^{-1} \phi(b)$ [/mm] ist injektiv. |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
|
|
| |
|
Injektivität von [mm] \psi:
[/mm]
[mm] \psi(b)=\psi(c) [/mm]
[mm] \Rightarrow b^{-1}\phi(b)=c^{-1}\phi(c) [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(b)=bc^{-1}\phi(c) [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(b)\phi(c)^{-1}= bc^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(b)\phi(c^{-1})= bc^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(bc^{-1})= bc^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow bc^{-1}=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b=c
Da die Gruppe endlich ist, folgt aus der Injektivität die Surjektivität.
[mm] \Rightarrow [/mm] Zu jedem [mm] a\in [/mm] G existiert ein [mm] b\in [/mm] G mit [mm] a=\psi(b)=b^{-1}\phi(b).
[/mm]
Gäbe es zu irgendeinem a noch zusätzlich ein c mit
[mm] a=\psi(c)=c^{-1}\phi(c), [/mm] so wäre [mm] a=\psi(b)=\psi(c) [/mm] und [mm] \psi [/mm] nicht injektiv, was aber oben gezeigt wurde.
Also stimmt die Behauptung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:13 Mo 12.03.2012 | | Autor: | diddy449 |
Zeige, dass [mm] $\psi:G\to [/mm] G$ mit [mm] $\psi(b):=b^{-1}*\phi(b)$ [/mm] injektiv ist. Denn dann ist [mm] \psi [/mm] auch surjektiv, da G eine endliche Grundmenge ist, und damit wäre alles gezeigt.
[mm] $\psi$ [/mm] injektiv
[mm] \psi(a)=\psi(b) [/mm]
[mm] \Rightarrow e_G= \psi(a)*\psi(b)^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a)*(b^{-1}*\phi(b))^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a)*\phi(b^{-1})*b [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a*b^{-1})*b
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(a*b^{-1})*b [/mm] = a
[mm] \Rightarrow \phi(a*b^{-1}) [/mm] = [mm] a*b^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a*b^{-1} [/mm] = [mm] e_G
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b $
|
|
|
|
