Übertragungsfunktion finden < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Von einem gegeben linearen , zeitinvarianten System mit der Übertragungsfunktion G(s) ist Folgendes bekannt: Die Antwort auf die Eingangsgröße x(t) = o(t) - o(t-1) + 2o(t-2) ist die Funktion y(t)= sin(t)o(t) - sin(t-1)o(t-1) + 2sin(t-2)o(t-2).
Dabei ist bezeichnet o(t) ist die Einheits-Sprungfunktion. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(s) und die Impulsantwortg g(t). |
mein lösungsweg :
G(s)= y(t)/x(t) = L{y(t)}/L{x(t)}
L{x(t)} bekomm ich hin nur bei L{y(t)} hört es bei mir auf
wie kann ich L{2sin(t-2)o(t-2)} lösen ??
ist das L{2sin(t-2)} +L{o(t-2)} ?
Dienstag ist Klausur , ich bin für jede idee dankbar. mir geht es weniger um die konkrete Lösung als die Rechenregel bzw wie man das halt löst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo freakcity,
ich nehme mal an, dass ihr Laplacetabellen benutzen dürft, sonst kommt man nicht so einfach auf die Laplace-Transformierte einer Sinusschwingung.
Zum
[mm] \sin ( \omega t) [/mm] gehört die Transformierte
[mm] \bruch{\omega}{s^2 + \omega^2} [/mm]
Damit bekommst Du schon mal den ersten Term in y(t) laplacetransformiert. Für die beiden anderen Terme, die ja einen verschobenen Sinus enthalten, brauchst Du demzufolge den Verschiebungssatz.
Zu einer Zeitfunktion
[mm] f(t-t_0) o(t-t_0) [/mm] gehört die Laplacetransfomierte, die zu f(t) gehört, also F(s), gewichtet mit einer abklingenden e-Funktion.
Das führt dann zur Transformierten
[mm] e^{-st} F(s) [/mm]
Damit hast Du alles zusammen, um y(t) zu transformieren und Du kannst das Ergebnis recht schnell hinschreiben.
Viele Grüße,
Infinit
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L{y(t)} = L{sin(t)o(t)} + L{sin(t-1)o(t-1)} + 2*L{sin(t-2)o(t-2)} = [mm] \bruch{1}{s^2+1^2}*\bruch{1}{s} [/mm] - [mm] \bruch{sin(-1)*s+1*cos(-1)}{s^2+1^2} [/mm] * [mm] \bruch{e^-1s}{s} [/mm] +2* [mm] \bruch{sin(-2)*s+1*cos(-2)}{s^2+1^2} [/mm] * [mm] \bruch{e^-2s}{s}
[/mm]
ist das so richtig? irgendwie sieht das sehr kompliziert aus :) :) oder es ist halt falsch :) ich hab in der Liste nach dem
sin(t-1) gesehn und da stand dann sin(at-b) = [mm] \bruch{sin(b)*s+a*cos(b)}{s^2+a^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 02.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo frakcity,
Da hast du Deine Gedanken nicht so ganz beieinander gehabt als Du diese Lösung aufschriebst. Entweder berücksichtigst Du die zeitverschobenen Sinussignale direkt über Deine Transformation oder über meine Darstellung mit Hilfe der e-Funktion. Beides zusammen ist eindeutig verkehrt.
Weiterhin ist die Transformierte des Einheitssprungs auch zuviel, schließlich gilt ja diese Transformation erst ab dem Zeitpunkt t = 0. So ein Ausdruck kann nicht stimmen, denn schließlich führt eine Multiplikation im Zeitbereich zu einer Faltung im Frequenzbereich und nicht zu einer weiteren multiplikativen Verknüpfung.
Viele Grüße,
Infinit
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