Überlagerung harm.Schwingunge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:
Gegeben seien zwei harmonische Schwingungen:
f(t)= a*sin [mm] (w*t+\alpha)
[/mm]
[mm] g(t)=a*sin(w*t+\beta) [/mm] , t [mm] \in \IR
[/mm]
mit der Amplitude a, mit der gleichen Kreisfrequenz w und mit den Phasenkonstanten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Zeigen Sie, dass die Überlagerung h(t) = f(t)+g(t) eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz w ist. Geben sie die Amplitude und die Phase von h(t) an.
Gelöst werden soll die Aufgabe mit Hilfe der Additionstheoreme. Das habe ich auch versucht und habe hier zunächst folgende Umformung vorgenommen:
h(t)= [mm] 2*a*(sin(w*t+\alpha)*cos(w*t+\beta)+cos(w*t+\alpha)*sin(w*t+\beta)
[/mm]
Dies habe ich dann entsprechend der Additionstheorme nocheinmal weiter aufgelöst, wobei ich eine ewig lange Funktion herausbekomme und zwar in folgender Form:
[mm] 2*a*[sin(w*t)*cos(\alpha)+cos(w*t)*sin(\alpha)] [/mm] ...und so weiter und so fort.
Ich habe nun jedoch keine Ahnung, wie ich diesen langen Funktionsterm so vereinfachen kann, dass ich eine harmonische Funktion herausbekomme.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 21.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nessy
ich denke, deine 1. "Umformung" ist nicht ganz richtig. Dann wird natürlich auch der Rest schwierig.
h ist ja nur die Summe von f und g, nicht die Hintereinanderschaltung der Funktionen, also nicht f(g).
Mit $f(t) = [mm] a\sin(\omega [/mm] t + [mm] \alpha)$ [/mm] und $g(t) = [mm] a\sin(\omega [/mm] t + [mm] \beta)$ [/mm] erhalte ich für die Summe davon lediglich:
[mm] $h(t)=a(\sin(\omega [/mm] t + [mm] \alpha) +\sin(\omega [/mm] t + [mm] \beta))$
[/mm]
Kannst du es von hier aus nochmals versuchen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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