Übergangsmatrix Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Olek |
Schönen guten Abend,
ich habe gerade das Gefühl, ich stehe nen Meter vor der Ziellinie und finde sie nicht :(
Die Aufgabe lautet:
Es sein V ein VR über K mit Skalarprodukt und dim V=n. [mm] \IB [/mm] sei eine Basis, und [mm] \hat \IB [/mm] die zugehörige ON-Basis.
Zeigen sie, dass die Übergangsmatrix von [mm] \IB [/mm] nach [mm] \hat \IB [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, deren Diagonalelemente reel und positiv sind.
Das Ding ist, dass ich schon ziemlich weit bin. Ich habe das GLS aufgeschrieben, durch dass ich die Übergangsmatrix erhalte. Dann betrachte ich die erste Zeile, bei der dann alle skalare Null werden sollten, ausser dem Ersten. Dann hätte ich da stehen:
[mm] u_{1}= \alpha_{1,1}v_{1} [/mm] Dann ersetze ich [mm] v_{1} [/mm] durch [mm] u_{1}/\left| \left| u_{1} \right| \right|
[/mm]
Dass löse ich nach /alpha auf und erhalte [mm] \left| \left| u_{1} \right| \right|, [/mm] womit ich gezeigt hätte, dass der erste Wert der Ü-Matrix reell und positiv ist. Aber wie gehe ich weiter vor. Und ganz wichtig, wie begründe ich, dass ich oben einfach die weiteren Skalare habe wegfallen lassen. Das kann ich ja nicht einfach machen, weil ich es zeigen soll ;)
Wär schön wenn ihr mir helfen könntet! Vielen Dank schonmal,
Olek
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Hallo!
"Zugehörige ONB" bedeutet wahrscheinlich, dass du [mm] $\hat\IB$ [/mm] aus [mm] $\IB$ [/mm] durch den Gram-Schmidt-Algorithmus gewinnst. Mach dir das zunutze!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Olek |
Hi banachella,
darauf hatte ich eigentlich auch versucht Bezug zu nehmen. Das Verfahren ist mir soweit auch klar, das heißt ich kann es anwenden, und ich weiß auch, wie man dann die Übergangsmatrix bestimmt. Aber man muß ja augenscheinlich einen Zusammenhang zwischen [mm] \hat\IB [/mm] und der Übergangsmatrix in sofern finden, als dass bei der Berechnung der Ü-Matrix die gewünschten [mm] \lambda [/mm] wegfallen bzw. =0 werden.
Wie ich das zeigen kann ist mir leider nicht klar. Der Zusammenhang zwischen [mm] \hat\IB [/mm] und der Übergangsmatrix nur in soweit, wie ich es oben beschrieben habe.
Dankeschön dass du dich mit diesem Problem befasst,
Olek
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Hallo Olek!
Ich bezeichne die ONB mit [mm] $(e_k)$, [/mm] Ausgangsbasis mit [mm] $(d_k)$ [/mm] und das Zwischenergebnis (zur Abkürzung) mit [mm] $(\tilde e_k)$. [/mm] Also:
[mm] $e_1=\bruch{d_1}{\|d_1\|}$
[/mm]
[mm] $e_2=-\langle d_2,e_1\rangle\bruch{d_1}{\|d_1\|\|\tilde e_2\|}+\bruch{d_2}{\|\tilde e_2\|}$
[/mm]
[mm] $e_3=-\langle d_3,e_1\rangle\bruch{d_1}{\|d_1\|\|\tilde e_3\|}-\langle d_3,e_2\rangle\bruch{-\langle d_2,e_1\rangle\bruch{d_1}{\|d_1\|\|\tilde e_2\|}+\bruch{d_2}{\|\tilde e_2\|}}{\|\tilde e_3\|}+\bruch{d_3}{\|\tilde e_3\|}$ [/mm] usw.
Ist es jetzt klarer?
Gruß, banachella
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