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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 28.05.2008 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | Man betrachtet die Basis A = [mm] a_{1}' [/mm] = [8, -6, 7] , [mm] a_{2}' [/mm] = [-16, 7, -13], [mm] a_{3}' [/mm] = [9, -3, 7] und B = [mm] b_{1}' [/mm] = [1, -2, 1], [mm] b_{2}' [/mm] = [3, -1, 2], [mm] b_{3}' [/mm] = [2, 1, 2]. Finden Sie die Übergangsmatrix die den Übergang von der Basis A in die Basis B beschreibt. |
Hallo,
Also ich habe T als T = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } [/mm] definiert.
[mm] \pmat{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} } [/mm] = T . [mm] \pmat{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} } [/mm]
Also :
[mm] b_{1} [/mm] = a [mm] \pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 } [/mm] + b [mm] \pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 } [/mm] + c [mm] \pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 } [/mm] (1)
[mm] b_{2} [/mm] = d [mm] \pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 } [/mm] + e [mm] \pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 } [/mm] + f [mm] \pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 } [/mm] (2)
[mm] b_{3} [/mm] = g [mm] \pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 } [/mm] + h [mm] \pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 } [/mm] + i [mm] \pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 } [/mm] (3)
Zu (1) :
1 = 8a - 16b + 9c
-2= -6a + 7b - 3c
1 = 7a - 13b + 7c
a = 1 b = 1 c = 1
Zu (2) :
3 = 8d - 16e + 9f
-1 = -6d + 7e - 3f
2 = 7d - 13e + 7f
d=1 e=2 f=3
Zu (3) :
2= 8g - 16h + 9i
1= -6g + 7h - 3i
2= 7g - 13h + 7i
g= -3 h= -5 i= -6
Also :
T = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -5 & -6 }
[/mm]
Aber es scheint falsch zu sein, da die Lösung T = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 1 \\ -3 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 1 } [/mm] lautet.
Sehr wahrscheinlich habe ich irgendetwas falsch verstanden und darum habe ich ein anderes Ergebnis bekommen. Wie soll ich es machen ?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Do 29.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo belf,
> Man betrachtet die Basis A = [mm]a_{1}'[/mm] = [8, -6, 7] , [mm]a_{2}'[/mm] =
> [-16, 7, -13], [mm]a_{3}'[/mm] = [9, -3, 7] und B = [mm]b_{1}'[/mm] = [1, -2,
> 1], [mm]b_{2}'[/mm] = [3, -1, 2], [mm]b_{3}'[/mm] = [2, 1, 2]. Finden Sie die
> Übergangsmatrix die den Übergang von der Basis A in die
> Basis B beschreibt.
> Hallo,
>
> Also ich habe T als T = [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }[/mm]
> definiert.
>
> [mm]\pmat{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} }[/mm] = T . [mm]\pmat{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} }[/mm]
>
> Also :
>
> [mm]b_{1}[/mm] = a [mm]\pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 }[/mm] + b [mm]\pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 }[/mm]
> + c [mm]\pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 }[/mm] (1)
>
> [mm]b_{2}[/mm] = d [mm]\pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 }[/mm] + e [mm]\pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 }[/mm]
> + f [mm]\pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 }[/mm] (2)
>
> [mm]b_{3}[/mm] = g [mm]\pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 }[/mm] + h [mm]\pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 }[/mm]
> + i [mm]\pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 }[/mm] (3)
>
> Zu (1) :
>
> 1 = 8a - 16b + 9c
> -2= -6a + 7b - 3c
> 1 = 7a - 13b + 7c
>
> a = 1 b = 1 c = 1
>
> Zu (2) :
>
> 3 = 8d - 16e + 9f
> -1 = -6d + 7e - 3f
> 2 = 7d - 13e + 7f
>
> d=1 e=2 f=3
>
> Zu (3) :
>
> 2= 8g - 16h + 9i
> 1= -6g + 7h - 3i
> 2= 7g - 13h + 7i
>
> g= -3 h= -5 i= -6
>
> Also :
>
> T = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -5 & -6 }[/mm]
>
> Aber es scheint falsch zu sein, da die Lösung T = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 1 \\ -3 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 1 }[/mm]
> lautet.
>
> Sehr wahrscheinlich habe ich irgendetwas falsch verstanden
> und darum habe ich ein anderes Ergebnis bekommen. Wie soll
> ich es machen ?
Du willst doch Vektoren, die durch die Basis A dargestellt sind, durch die Basis B ausdrücken. Also musst Du herausfinden, wie sich die Vektoren der Basis A durch die Basis B darstellen lassen. Du hast aber das umgekehrte gemacht.
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank
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