Überall partiell diff'bar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 24.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
ich weiß nicht, ob die Funktion f(x,y) = [mm] y\wurzel{2x^2+y^2}= y(2x^2 [/mm] + [mm] y^2)^{1/2} [/mm] überall partiell differenzierbar ist oder im Punkt (0,0) nicht partiell differenzierbar ist.
f(x,y) = [mm] y\wurzel{2x^2+y^2} [/mm] sollte ja überall gültig sein, die Wurzel ist immer >=0.
Nun ist
[mm] D_1 [/mm] f(x,y) = [mm] 2xy/\wurzel{2x^2+y^2}
[/mm]
[mm] D_2 [/mm] f(x,y) = [mm] \wurzel{2x^2+y^2} [/mm] + [mm] y^2/(\wurzel{2x^2+y^2})
[/mm]
Wenn bei [mm] D_1 [/mm] und [mm] D_2 [/mm] nun x=0 und y=0 ist, erhalte ich ein nicht gültiges Ergebnis.
Nun habe ich für [mm] D_1 [/mm] f(0,0) und [mm] D_2 [/mm] f(0,0) heraus:
[mm] D_1 [/mm] f(0,0) = [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x,0)-f(0,0)/(x-0)
= [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] 0-0/(x-0) = [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] 0/x = 0/0 => undef
[mm] D_2 [/mm] f(0,0) = [mm] \limes_{y\rightarrow0} [/mm] f(0,y)-f(0,0)/(0-y)
= [mm] \limes_{y\rightarrow0} y*\wurzel{y^2} [/mm] /-y
[mm] =\limes_{y\rightarrow0} y^2/-y
[/mm]
[mm] =\limes_{y\rightarrow0} [/mm] -y
= 0 => existiert
Ich weiß meine Ergebnisse absolut nicht auf partielle Differenzierbarkeit im Punkt (0,0) zu deuten.
Viele Grüße
Elefanti
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Hallo elefanti!
> = [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] 0-0/(x-0) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] 0/x = 0/0 => undef
Der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{x} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] ist doch definiert und hat auch einen konkreten Wert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 25.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
ich habe noch eine kleinere Frage zu der Aufgabe, ansonsten habe ich den Rest verstanden. Nur, wie man testet, ob eine Funktion in einem Punkt partiell differenzierbar ist, habe ich noch nicht ganz verstanden.
Ich habe hier alles nur so eingesetzt, wie ich es in einem anderen Beispiel gesehen habe. Aber wie lautet die Formel allgemein, so dass ich das z.B. auch testen kann, ob meine Funktion beispielsweise am Punkt(1,1) partiell differenzierbar ist?
$ [mm] D_1 [/mm] $ f(0,0) = $ [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] $ f(x,0)-f(0,0)/(x-0)
= $ [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] $ 0-0/(x-0) = $ [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] $ 0/x = 0
$ [mm] D_2 [/mm] $ f(0,0) = $ [mm] \limes_{y\rightarrow0} [/mm] $ f(0,y)-f(0,0)/(0-y)
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Stelle (a,b)
[mm] D_1=lim [/mm] (f(a+h,b)-f(a,b))/h
meinst du das?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Do 27.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Ja, das meine ich, vielen Dank!
Viele Grüße
Elefanti
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