Überabzählbarkeit von R < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für eine Menge M bezeichne P(M) die Potenzmenge von M. Geben Sie eine injektive Funktion f: [mm] P(\IN) \to \IR [/mm] an. Folgern Sie, dass [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist. |
Kann mir jemand helfen? Mir ist klar, dass es viele solcher Funktionen gibt, mir will nur kein Konkretes beispiel einfallen.
Für die Folgerung hab ich mir überlegt: Wir haben schon gezeigt, dass P(N) überabzählbar ist. Wenn es also eine injektive Abbildun von P(N) nach R gibt, muss R intuitiv auch überabzählbat sein. Aber beweise ich dass jetzt sauber?
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Hallo robin,
überleg dir doch ersteinmal, wie die Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] aussieht.
Als kleinen Tipp für deine Funktion kannst du dir ja mal folgendes Beispiel anschauen:
f({1,2,3}) = 1,23
Ich denke so kommst du auf deine Funktion!
Die Folgerung geht denk ich mal am schönsten indirekt!
lg Kai
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Ok, vielen Dank erstmal!
Ich hab dein Beispiel verstanden, is mir jetzt klar, wie so eine Funktion aussehen muss...aber ich hab immernoch Schwierigkeiten, sie explizit aufzuschrieben!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
Die Antwort wurde doch schon gegeben:
Du schickst jede Teilmenge auf die Zahl, die aus disen Ziffern besteht, also z.B. [mm] {1,2}\to [/mm] 12 usw. Damit hat jede reelle Zahl höchstens ein Urbild in der Potenzmenge (Stichwort eindeutige Dezimalentwicklung).
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jep, das ist mir schon klar, aber wie formulier ich das sauber? geht das so:
f: [mm] P(\IN) \to \IR
[/mm]
[mm] (\{a_{0},a_{1},...\} [/mm] , [mm] \{...\} [/mm] ,...) [mm] \mapsto a_{0} [/mm] , [mm] a_{1} a_{2} [/mm] ...
???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 30.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 28.04.2009 | | Autor: | pelzig |
Was ist denn dann z.B. [mm] f(\{1,23\}) [/mm] und [mm] f(\{1,2,3\})?
[/mm]
Gruß, Robert
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