Überabzählbar viele Lösungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 28.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm] x^2+1=0 [/mm] überabzählbar unendlich viele Lösungen x [mm] \in [/mm] H besitzt.
H:= [mm] \{\pmat{ w & -z \\ \overline{z} & \overline{w}}|z,w \in \IC\}
[/mm]
Wir wissen H ist ein Schiefkörper, aber kein Körper. |
Hallo zusammen,
Gesucht sind w,z die das folgende Gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ w & -z \\ \overline{z} & \overline{w}}^2 [/mm] + [mm] I_2 =\pmat{ w^2-|z|^2+1 &-wz-z\overline{w} \\ \overline{z}w+\overline{w}\overline{z} & -|z|^2+\overline{w}^2+1 }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0& 0 }
[/mm]
D.h. [mm] w^2 [/mm] - [mm] |z|^2+1=-|z|^2+\overline{w}^2+1
[/mm]
[mm] \gdw w^2= \overline{w}^2
[/mm]
Sei w=a+ib
[mm] w^2=(a+ib)*(a+ib)=a^2-b^2+i(2ab)
[/mm]
[mm] \overline{w}^2=(a-ib)*(a-ib)=a^2-b^2-i(2ab)
[/mm]
=> ab=-(ab)
=> ab=0
=> a=0 [mm] \vee [/mm] b=0
Fall1:
b=0, dann ist w reell: [mm] w=\overline{w}
[/mm]
0= [mm] -wz-z\overline{w}=-wz-zw=w(-2z)
[/mm]
-> w=0 [mm] \vee [/mm] z=0
Wäre z=0, dann ist [mm] w^2=-1 [/mm] -> [mm] w=\pm [/mm] i, Widerspruch zu b=0
Also folgt w=0, dann ist [mm] |z|^2=1
[/mm]
X= [mm] \pmat{0 & -e^{ix} \\ e^{-ix}& 0} \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Da [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist, haben wir überabzählbar viele Lösungen.
Fall 2
a=0, dann ist [mm] \overline{w}=-w
[/mm]
Hier kürz sich alles weg und wir haben nur die Gleichung:
[mm] w^2 [/mm] - [mm] |z|^2+1=0
[/mm]
[mm] w^2+1=|z|^2
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter, warum es überabzählbar viele Lösungen gibt.
Würde nicht Fall 1) genügen als Beweis?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm]x^2+1=0[/mm] überabzählbar
> unendlich viele Lösungen x [mm]\in[/mm] H besitzt.
>
> H:= [mm]\{\pmat{ w & -z \\ \overline{z} & \overline{w}}|z,w \in \IC\}[/mm]
>
> Wir wissen H ist ein Schiefkörper, aber kein Körper.
> Hallo zusammen,
>
> Gesucht sind w,z die das folgende Gleichungssystem lösen:
Du sollst nicht alle Kösungen bestimmen. Du sollst nur zeigen, dass es überabzählbar viele Lösungen gibt.
>
> [mm]\pmat{ w & -z \\ \overline{z} & \overline{w}}^2[/mm] + [mm]I_2 =\pmat{ w^2-|z|^2+1 &-wz-z\overline{w} \\ \overline{z}w+\overline{w}\overline{z} & -|z|^2+\overline{w}^2+1 }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0& 0 }[/mm]
>
> D.h. [mm]w^2[/mm] - [mm]|z|^2+1=-|z|^2+\overline{w}^2+1[/mm]
> [mm]\gdw w^2= \overline{w}^2[/mm]
>
> Sei w=a+ib
> [mm]w^2=(a+ib)*(a+ib)=a^2-b^2+i(2ab)[/mm]
> [mm]\overline{w}^2=(a-ib)*(a-ib)=a^2-b^2-i(2ab)[/mm]
> => ab=-(ab)
> => ab=0
> => a=0 [mm]\vee[/mm] b=0
>
> Fall1:
> b=0, dann ist w reell: [mm]w=\overline{w}[/mm]
> 0= [mm]-wz-z\overline{w}=-wz-zw=w(-2z)[/mm]
> -> w=0 [mm]\vee[/mm] z=0
> Wäre z=0, dann ist [mm]w^2=-1[/mm] -> [mm]w=\pm[/mm] i, Widerspruch zu b=0
> Also folgt w=0, dann ist [mm]|z|^2=1[/mm]
> X= [mm]\pmat{0 & -e^{ix} \\ e^{-ix}& 0} \forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> Da
> [mm]\IR[/mm] überabzählbar ist, haben wir überabzählbar viele
> Lösungen.
>
>
> Fall 2
> a=0, dann ist [mm]\overline{w}=-w[/mm]
> Hier kürz sich alles weg und wir haben nur die
> Gleichung:
> [mm]w^2[/mm] - [mm]|z|^2+1=0[/mm]
> [mm]w^2+1=|z|^2[/mm]
> Hier komme ich nicht weiter, warum es überabzählbar
> viele Lösungen gibt.
>
> Würde nicht Fall 1) genügen als Beweis?
Ja.
Du hast schon richtig fest gestellt:
$ [mm] w^2= \overline{w}^2 [/mm] $.
Das ist gleichbedeutend mit:
(1) $ (w- [mm] \bar [/mm] w)(w+ [mm] \bar [/mm] w)=0$
Danaben hast Du noch die Gleichungen
(2) $z(w+ [mm] \bar [/mm] w)=0$
(3) [mm] $\bar [/mm] z(w+ [mm] \bar [/mm] w)=0$
(4) [mm] $w^2-|z|^2+1=0$
[/mm]
(5) $ [mm] -|z|^2+\overline{w}^2+1 [/mm] =0$
Aus (1) kann man ablesen: ist $w$ reell oder rein imaginär, so sind für jedes z die Gleichungen (2) bis (5) erfüllt.
FRED
>
> LG,
> sissi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 28.11.2014 | | Autor: | sissile |
Danke,
> Aus (1) kann man ablesen: ist $ w $ reell oder rein imaginär, so sind für jedes z die Gleichungen (2) bis (5) erfüllt.
Wenn w reell ist, ist da a=0 ist, w=0.
Gleichung 4: [mm] |z|^2=1
[/mm]
Die Gleichung 4 ist doch dann nicht für jedes [mm] z\in [/mm] C erfüllt, sondern nur solche am Einheitskreis. Oder wie meintest du den obigen Satz?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
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> > Aus (1) kann man ablesen: ist [mm]w[/mm] reell oder rein imaginär,
> so sind für jedes z die Gleichungen (2) bis (5) erfüllt.
> Wenn w reell ist, ist da a=0 ist, w=0.
> Gleichung 4: [mm]|z|^2=1[/mm]
> Die Gleichung 4 ist doch dann nicht für jedes [mm]z\in[/mm] C
> erfüllt, sondern nur solche am Einheitskreis. Oder wie
> meintest du den obigen Satz?
Ja, Du hast recht. Nur für z mit |z|=1.
FRED
>
> LG,
> sissi
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