%tuales Wachstum Verdopplg.zei < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Gym 10, S. 43 Nr. 25
Häufig ist es informatier zu wissen, wie lange es dauert, bis sich eine Bevölkerung verdoppelt hat (Verdopplungszeit). Für exponentielles Wachstum kann man durch Ausprobieren recht einfach die Verdopplungszeit zu einem gegebenen prozentualen Wachstum von p % ermitteln. Ergänze die Tabelle!
prozentualen Wachstum Verdopplg.-zeit in Jahren
1%
2%
3%
5%
10% 7,3
20%
25% |
Hallo,
mich überfordert diese Aufg.
Zu 10% gehört der Wert 7,3.
Aber ich traue mich nicht bei 5% einfach die Hälfte von 7,3 zu schreiben.
Das funktioniert bestimmt auch so nicht.
Muss ich die Prozentzahlen jetzt erstmal wieder in Dezimalzahlen schreiben? Habe ich gemacht - ich kann damit genauso wenig anfangen.
Ich weiß hier gar nicht was was ist.
Es gab da eine andere Aufg. mit Bakterien (die war gut). Mit 10 Bakterien fängt es an, nach 1 Std. sind es dopp. soviel, dann sind es also nach 3 Std. 2*20 Bakterien usw.. Bei dieser Aufg. war die Zeit die Variable.
Ist immer die Zeit das x in Bezug auf Fkt.?
Ah, es irrietiert mich, dass in der Tabelle oben keine Bevölkerungszahlen stehen, sondern dieses abstrakte Viech Wachstumsfaktor b in %. Wie komme ich denn jetzt an die Bevölkerungszahlen ran?
Für alle Hilfen schon mal im voraus ganz vielen DANK!!!
|
|
| |
|
Hallo Giraffe,
> Gym 10, S. 43 Nr. 25
> Häufig ist es informatier zu wissen, wie lange es dauert,
> bis sich eine Bevölkerung verdoppelt hat
> (Verdopplungszeit). Für exponentielles Wachstum kann man
> durch Ausprobieren recht einfach die Verdopplungszeit zu
> einem gegebenen prozentualen Wachstum von p % ermitteln.
> Ergänze die Tabelle!
> prozentualen Wachstum Verdopplg.-zeit in Jahren
> 1%
> 2%
> 3%
> 5%
> 10% 7,3
> 20%
> 25%
> Hallo,
> mich überfordert diese Aufg.
> Zu 10% gehört der Wert 7,3.
> Aber ich traue mich nicht bei 5% einfach die Hälfte von
> 7,3 zu schreiben.
> Das funktioniert bestimmt auch so nicht.
> Muss ich die Prozentzahlen jetzt erstmal wieder in
> Dezimalzahlen schreiben? Habe ich gemacht - ich kann damit
> genauso wenig anfangen.
> Ich weiß hier gar nicht was was ist.
> Es gab da eine andere Aufg. mit Bakterien (die war gut).
> Mit 10 Bakterien fängt es an, nach 1 Std. sind es dopp.
> soviel, dann sind es also nach 3 Std. 2*20 Bakterien usw..
> Bei dieser Aufg. war die Zeit die Variable.
> Ist immer die Zeit das x in Bezug auf Fkt.?
> Ah, es irrietiert mich, dass in der Tabelle oben keine
> Bevölkerungszahlen stehen, sondern dieses abstrakte Viech
> Wachstumsfaktor b in %. Wie komme ich denn jetzt an die
> Bevölkerungszahlen ran?
Die Bevölkerungszahlen brauchst Du hier nicht,
bzw. sind von der Verdopplungszeit unabhängig.
Nimm mal an, es ist eine Bevölkerungszahl [mm]B_{0}[/mm]
zum Zeitpunkt n=0 vorgegeben.
Die Bevölkerungszahle nach n Jahren genügen der Funkionsgleichung
[mm]B_{n}=B_{0}*q^{n}[/mm]
mit q = 1 +prozentuales Wachstum.
Nun, will man wissen, wann sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat,
d.h nach n Jahren gilt die Gleichung
[mm]B_{n}=2*B_{0}=B_{0}*q^{n}[/mm]
Daraus ergibt sich die zu lösende Gleichung:
[mm]2=q^{n}[/mm]
Wenn Du jetzt diese Gleichung nach n umstellst,
kannst Du auch die Tabelle ausfüllen.
>
> Für alle Hilfen schon mal im voraus ganz vielen DANK!!!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
jo, prima danke. Klingt gut.
Kann aber erst am späten Abend die Aufg. zuende machen. Habe aber das gute Gefühl, dass ich es nun mit deine Antw. hinbekomme. Ich glaube das wird was.
Super DANKE
Ich bin begeistert vom Matheraum
Schön, dass es euch alle gibt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
Habe den Mund zu voll genommen. Ich kriege das überhaupt nicht hin.
Bin unter einem gr. Druck, geht nur noch schlecht was rein u. dabei muss noch soviel rein. So macht Mathe kein Fünkchen Spaß, sondern ist eine QUAAAAL.
Ist jemand so gnädig u. kann mir die Lösung von MathePower nochmal mit anderen Buchstaben oder vielleicht doch in Form der Fkt. übersetzen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen DANK
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
ich bin da jetzt nochmal bei.
Immer wieder versuche ich es mit [mm] 0,1^7,3, [/mm] aber da kommt Müll raus.
Dann mit der Antw. v. leduart zur Zinseszinsformel (Entstehg. u. Entwicklg.), also ich meine 1+0,1, daraus wird *1,1.
Dann mache ich also
[mm] 1,1^7,3 [/mm] (soll heißen Basis 1,1, Exp. 7,3) = 2,0052....
Ich weiß überhaupt nicht mehr, wo ich bin.
Kopflos u. blockiert.
Nochmal zum x-ten mal die Aufg. gelesen u. jetzt taucht folg. Frage auf:
Was zum Teufel ist VERDOPPLUNGSZEIT?
Mir würden Aufg. reichen, wo nur die Rede von t ist.
Wenn man 1 Std. gewartet hat u. dann noch eine weitere warten muss u. dann also schon 2 Std. abgesessen hat. Dann hat sich die Wartezeit verdoppelt. Diese 2 Std. sind die doppelte Zeit von 1 Std.
Aber VERdopplungszeit ist was bitte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Verdoppelungszeit ist die Zeit t, in der sich ein Bestand/angelegtes Kapital etc verdoppelt. Das Pendant dazu bei Zerfallsporozessen ist die Halbwertzeit.
Beispiel.
Du legst einen Betrag K (die Höhe ist egal, du wirst gleich sehen, warum) zu einem Zinssatz von 3,5% an.
Dann ist die Verdoppelungsziet die Zeit, in der du das doppelte, also 2K, auf deinem Konto hast.
Also:
[mm] 2K=K*q^{t}
[/mm]
[mm] \gdw 2=q^{t}
[/mm]
Also hier [mm] 2=1,035^{t} [/mm] und daraus kannst du t bestimmen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
nur wer die richtigen Fragen stellt kommt auch weiter
Bingo, das wars. DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
Mir erschließt sich Deine Frage nicht. In Mathepowers Antwort steht doch nichts anderes wie in Deiner Skizze.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
Ach Mensch scheiße.
Nun sehe ich Loddar hat geantw. u. freue mich, ohne zu fragen jetzt mit Loddars Ergänzung weiterzukommen u. dann sowas.
Muss trotzdem schmunzeln.
Mathepower hat keine Fkt., aber gut er nennt DEN Term
>mit q = 1 +prozentuales Wachstum.
>Nun, will man wissen, wann sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat,
>d.h nach n Jahren gilt die Gleichung
$ [mm] B_{n}=2\cdot{}B_{0}=B_{0}\cdot{}q^{n} [/mm] $
>Daraus ergibt sich die zu lösende Gleichung:
>$ [mm] 2=q^{n} [/mm] $
So.
Nichts anders hat auch Marisu M.Rex geschrieben
$ [mm] 2K=K\cdot{}q^{t} [/mm] $
$ [mm] \gdw 2=q^{t} [/mm] $
So.
Aber wo bitte schön bringe ich die 7,3 unter?
Verdoppeln heißt mal 2
Das q hoch was für ein Buchstabe auch immer
soll was sein?
10% =0,1
1+0,1 =1,1
q=1,1
hoch 7,3
?
Nee, bei dem Wertepaar muss doch nix ausgerechnet werden.
Ich weiß nicht wo es lang gehen soll.
Kann jmd. bitte nochmal helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
nochmal ausführlich:
>10% =0,1
>1+0,1 =1,1
>q=1,1
das stimmt alles, und wenn Du jetzt n=7.3 Jahre einsetzt, dann siehst Du:
[mm] $1.1^{7.3}\approx [/mm] 2$
Du hast [mm] K_0 [/mm] Kanickel. Du hast p=10% Wachstum pro Jahr (such Dir ggf eine andere Spezies als Kanickel aus =).
D.h. im ersten Jahr nimmt die Zahl Kanickel um [mm] p*K_0=10\%*K_0 [/mm] zu. Die Zahl Kanickel nach einem Jahr [mm] ($K_1$) [/mm] ist also die ursprüngliche Zahl [mm] $K_0$ [/mm] plus die, um die sie zugenommen hat.
Also hast Du nach einem Jahr [mm] $K_1=K_0+p*K_0=(1+p)*K_0$
[/mm]
Du hast [mm] K_1 [/mm] Kanickel. Du hast p=10% Wachstum pro Jahr (such Dir ggf eine andere Spezies als Kanickel aus =).
D.h. im zweiten Jahr nimmt die Zahl Kanickel um [mm] p*K_1=10\%*K_1 [/mm] zu. Die Zahl Kanickel nach zwei Jahren [mm] ($K_2$) [/mm] ist also die ursprüngliche Zahl [mm] $K_1$ [/mm] plus die, um die sie zugenommen hat.
Also hast Du nach zwei Jahren [mm] $K_2=K_1+p*K_1=(1+p)*K_1=(1+p)*(1+p)*K_0$
[/mm]
Du hast [mm] K_2 [/mm] Kanickel. Du hast p=10% Wachstum pro Jahr (such Dir ggf eine andere Spezies als Kanickel aus =).
D.h. im dritten Jahr nimmt die Zahl Kanickel um [mm] p*K_2=10\%*K_2 [/mm] zu. Die Zahl Kanickel nach drei Jahren [mm] ($K_3$) [/mm] ist also die ursprüngliche Zahl [mm] $K_2$ [/mm] plus die, um die sie zugenommen hat.
Also hast Du nach drei Jahren [mm] $K_3=K_2+p*K_2=(1+p)*K_2=(1+p)*(1+p)*K_1=(1+p)*(1+p)*(1+p)*K_0$
[/mm]
Du hast [mm] K_3 [/mm] Kanickel....
[mm] $K_n=(1+p)^n*K_0$
[/mm]
Umgekehrt: Verdopplungszeit, d.h. Du hast [mm] K_0 [/mm] und willst wissen nach wievielen Jahren n Du [mm] $K_n=2*K_0$ [/mm] hast.
[mm] 2*K_0=(1+p)^n*K_0$
[/mm]
[mm] K_0 [/mm] weggekürzt:
[mm] $2=(1+p)^n$
[/mm]
Logarithmus:
[mm] $\log(2)=n*\log(1+p)$
[/mm]
Auflösen:
[mm] $n=\frac{\log(2)}{\log(1+p)}$
[/mm]
Wenn Du willst kann ich Dir erklären, warum es auch funktioniert, wenn n keine ganze Zahl ist. =)
Das entscheidende bei exponentiellem Wachstum ist, daß eine Größe (Geld, Bakterien, Meerschweinchen) mit jedem Zeitschritt um einen konstanten Faktor wächst:
Du hast die Wahl zwischen
[mm] $K_{n}=1.1^n *10\textup{\euro}$
[/mm]
und
[mm] $K_n=n^2* 10\textup{\euro}$
[/mm]
was ist die bessere Idee?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 07.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Stefan,
vielen DANK für deine Mühe.
Habe jetzt alles ausgedruckt u. hoffe ich komme in den nächsten 4 Std. dazu das durchzuarbeiten. Sonst kann ich mich erst wieder heute abend irgendwann ransetzen. Mal gucken, was dann dabei rauskommt.
Aber deine Antw. beginnt mit
"Also nochmal ausführlich....."
Klingt vielversprechend - vielen vielen DANK u. Gruß
Sabine
Emil 8 Jahre alt: "Meine Lieblingslinie ist die Kurve und die Gerade, weil die so schön schief sind"
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 07.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
> Du hast die Wahl zwischen
> [mm]K_{n}=1.1^n *10\textup{\euro}[/mm]
> und
> [mm]K_n=n^2* 10\textup{\euro}[/mm]
> was ist die bessere Idee?
Natürlich der Term mit hoch n
hoch 2 ist fest u. bleibt immer hoch 2
aber hoch n kann auch 20 (n=20) sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 So 07.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ganz so einfach ist das nicht.
n=1:
1.1 vs. 1, sieh an, [mm] $1.1^n$ [/mm] ist schon besser
aber halt:
n=2:
1.21 vs. 4
und es wird immer schlimmer
n=3
1.331 vs. 9
Aber mit der Zeit holt die exponentielle Funktion die quadratische wieder ein:
n=96:
9412 vs. 9216
und wegen den konstanten Faktoren beim exponentiellen Wachstum geht es dann auch ganz schnell. Wenn wir nochmal 96 Schritte abwarten, ist die exponentielle wieder um den gleichen Faktor gestiegen:
[mm] $1.1^{192} [/mm] = [mm] 1.1^{96}*1.1^{96}=9412*9412\approx [/mm] 90000000$
während es bei der quadratischen nur noch jämmerlich vorangeht:
[mm] $192^2=(2*96)^2=4*9216\approx [/mm] 36000$
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 So 07.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
>ganz so einfach ist das nicht.
nee, wirklich nicht.
>ganz so einfach ist das nicht.
"W-A-R-U-M nicht?", möcht i am liebsten froag´ wie a Kind:
Im ernst - ich bin sehr müde u. erschöpft - kann denn nicht mal etw. einfach sein?
Eine Frage bekommt eine Antwort. So ist das normalerweise. Und das ist dann auch gut, aber hier im Matheraum ergeben sich doch immer wieder neue Fragen daraus u. daraus u. daraus, das ist fast exponentiell.
So kommt man nicht zu Potte. Also zumind. nicht zu dem Pott, den man anvisiert. Ist auf der anderen Seite aber gut kein Überflieger zu sein.
Und ich habe es auch geschafft: Das meiste des Wesentlichen habe ich nun. Jetzt muss ich das verfestigen u. vertiefen u. diese u. jene Unkenntnis dabei noch beseitigen.
Schaue später (hoffentl. morgen) hier nochmal u. dann gehts weiter
Vielen vielen DANK dir Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Stefan,
so, endlich, ich habs geschafft u. bin durch. Als Schüler ist man wohl schon zufrieden, wenn man die Lösung nur hat u. nix mehr. Ich bin erst zufrieden, wenn ich die Lösg. verstanden habe u. frei aus dem Kopf selber hinkriege. So habe ich mich dran gemacht u. alles was du geschrieben hast nachzuvollziehen. Ich komme auf
[mm] K_{n}=K_{0}*1,1^n
[/mm]
du aber hast
[mm] K_{n}=K_{n-1}*0,1*K_{n-1}
[/mm]
Es hat ca. 20 Min.gedauert bis ich endlich darauf gekommen bin, dass das beides DASSELBE ist. Aber mit deiner kommt man weiter, mit meiner nicht.
Dann habe ich mich gefragt, woher nun [mm] (1+p)^n [/mm] kommt. Bis ich geschnallt habe, dass du genau das ja vorher lang u. breit mit einem Jahr, dann im zweiten J. u. im dritten usw. erklärt hast. Danke für die Arbeit u. die Mühe - es hat sich gelohnt!!!!
Da wäre ich nie u. nimmer alleine drauf gekommen.
Zwischendurch wollte ich immer wieder die Anz. der Bevölkerg. da mit reinbringen, aber da gab es nur verschlüsselte Zahlen.
Ich habe jetzt nur als Beispiel 5 % u. 20 %, die nebenstehenden Werte aus der Tabelle genommen u. eingesetzt u. kriege raus:
Bei 5% Wachstum hat man eine Verdopplungszeit von 14,2 Jahren.
Bei 20% Wachstum hat man eine Verdopplungszeit von 3,8 Jahren.
Ich glaube dass kommt hin, aber ich kann mit den Zahlen nichts anfangen. Ich kann die Werte nicht interpretieren. Die Aufg. war sehr sehr schwer - zu abstrakt.
Trtozdem ganz vielen DANK
|
|
|
|
