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trigonometrische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Sa 29.03.2008
Autor: Maiko

Hallo!

Ich hätte mal eine Frage bezüglich folgender Aufgabe. Wie kann ich denn rechnerisch folgende Gleichung lösen?

Cos(x) = 1 - sin(x) im Intervall $ [mm] [0,\pi] [/mm] $

Ich wäre für eine einfache, nachvollziehbare Antwort sehr dankbar :)

        
Bezug
trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Sa 29.03.2008
Autor: Adamantin


> Hallo!
>  
> Ich hätte mal eine Frage bezüglich folgender Aufgabe. Wie
> kann ich denn rechnerisch folgende Gleichung lösen?
>  
> Cos(x) = 1 - sin(x) im Intervall [mm][0,\pi][/mm]
>  
> Ich wäre für eine einfache, nachvollziehbare Antwort sehr
> dankbar :)  

In diesem Fall bringt dich folgende Umformung weiter:

[mm]cos(x) = 1 - sin(x) | ²[/mm]
[mm]\Rightarrow cos(x)²=(1-sin(x))²[/mm]
[mm]\Rightarrow cos(x)²=1-2sin(x)+sin(x)²[/mm]
[mm]\Rightarrow 1-sin(x)²=1-2sin(x)+sin(x)²[/mm]
[mm]\Rightarrow 0=-2sin(x)+2sin(x)²[/mm]
[mm]\Rightarrow 0=-sin(x)+sin(x)²[/mm]
[mm]\Rightarrow 0=sin(x)*(-1+sin(x))[/mm]
[mm]\Rightarrow sin(x)=0 \vee sin(x)=1 [/mm]



Bezug
                
Bezug
trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Sa 29.03.2008
Autor: abakus


> > Hallo!
>  >  
> > Ich hätte mal eine Frage bezüglich folgender Aufgabe. Wie
> > kann ich denn rechnerisch folgende Gleichung lösen?
>  >  
> > Cos(x) = 1 - sin(x) im Intervall [mm][0,\pi][/mm]
>  >  
> > Ich wäre für eine einfache, nachvollziehbare Antwort sehr
> > dankbar :)  
>
> In diesem Fall bringt dich folgende Umformung weiter:
>  
> [mm]cos(x) = 1 - sin(x) | ²[/mm]
>  [mm]\Rightarrow cos(x)²=(1-sin(x))²[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow cos(x)²=1-2sin(x)+sin(x)²[/mm]
>  [mm]\Rightarrow 1-sin(x)²=1-2sin(x)+sin(x)²[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 0=-2sin(x)+2sin(x)²[/mm]
>  [mm]\Rightarrow 0=-sin(x)+sin(x)²[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 0=sin(x)*(-1+sin(x))[/mm]
>  [mm]\Rightarrow sin(x)=0 \vee sin(x)=1[/mm]
>  
>  

Noch etwas kürzer:
Rechenbefehl +sin(x), anschließend quadrieren
sin²x+cos²x+2sin(x)cos(x)=1
Wegen sin²x+cos²x=1 wird daraus
2sin(x)cos(x)=0
[mm]\Rightarrow sin(x)=0 \vee cos(x)=0[/mm]
(Bei Kenntnis der Doppelwinkelformeln führt auch sin(2x)=0 zum Ziel.)
Gruß
Abakus

Bezug
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