trigonometrische Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Eine Achterbahn durchläuft im ersten Bahnabschnitt die halbe Periode des Graphen einer trigonometrischen Funktion (siehe Skizze).
Für den Bereich $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 6\pi$ [/mm] gilt: $f(x)= a [mm] \cdot{} [/mm] cos (b [mm] \cdot{} [/mm] x) + c$
a) Ermitteln Sie über die Länge der halben Periode den Koeffizienten b.
b) Aus den Angaben der Punkte in der Skizze sind die Variablen a und c zu bestimmen und die Funktionsgleichung der Bahnkurve anzugeben.
(Ergebnis: $f(x)= 6 [mm] \cdot{} [/mm] cos [mm] (\bruch{1}{6} \cdot{} [/mm] x) + 13$
c) Im Punkt [mm] W($3\pi$|f($3\pi$)) [/mm] der Kurve ist der Betrag der Steigung am größten. Berechnen Sie den Steigungswinkel [mm] $\varphi$. [/mm] |
Hallo Zusammen,
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei dieser Aufgabe habe ich nicht einmal einen Ansatz. a wird die Stauchung oder Streckung der Funktion angeben, b gibt die Steigung an und c die Verschiebung auf der y-Achse. Wie kann ich b bestimmen? Über den Koeffizientenvergleich? Und wenn ja, wie geht das? Hab bei Wikipedia nachgeschaut aber daraus werd ich nicht schlau, wenn es überhaupt stimmt um so b zu bestimmen. Danke.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
beginnen wir mit b: in der Zeichnung erkennst du eine halbe Periode, sie beträgt [mm] 6\pi, [/mm] somit beträgt die kleinste Periode [mm] 12\pi, [/mm] die Cosinusfunktion hat die kleinste Periode [mm] 2\pi, [/mm] jetzt ist [mm] b=\bruch{2}{12}=\bruch{1}{6},
[/mm]
weiter mit a: du erkennst auf der y-Achse 19 (Maximum) und 7(Minimum), die Differenz beträgt 12, die Cosinusfunktion verläuft im Intervall -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, hier beträgt die Differenz 2, 2*a=12, also a=6
weiter mit c: die Funktion wird um c Einheiten entlang der y-Achse verschoben, die Amplitude deiner Funktion beträgt 12, die Hälfte beträgt 6, jetzt könntest du 7+6=13 oder 19-6=13 rechnen, also c=13,
Steigung: jetzt ist ja deine Funktion bekannt, bilde die 1. Ableitung, berechne [mm] f'(3\pi), [/mm] und gehe über den Tangens, m=tan(phi)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 12.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Steigung: jetzt ist ja deine Funktion bekannt, bilde die 1.
> Ableitung, berechne [mm]f'(3\pi),[/mm] und gehe über den Tangens,
> m=tan(phi)
wie bilde ich denn die Ableitung von $f(x) = 6 [mm] \cdot{} cos(\bruch{1}{6} \cdot{} [/mm] x) + 13$ ?
die 13 fällt weg, also: $f(x) = 6 [mm] \cdot{} cos(\bruch{1}{6}x)$, [/mm] jetzt muss ich mit der Produkregel ableiten, oder?
u= 6 u'=0
v= cos v'= -sin
w= [mm] $\bruch{1}{6}x$ w'=$\bruch{1}{6}$
[/mm]
$f'(x)=0 [mm] \cdot{} [/mm] cos [mm] \cdot{} \bruch{1}{6}x [/mm] + 6 [mm] \cdot{} [/mm] (-sin) [mm] \cdot{} \bruch{1}{6}x [/mm] + 6 [mm] \cdot{} [/mm] cos [mm] \cdot{} \bruch{1}{6}$ [/mm] wenn es stimmt, wie geht es weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Fr 12.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hi,
> wie bilde ich denn die Ableitung von [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6} \cdot{} x) + 13[/mm]
> ?
>
> die 13 fällt weg, also: [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6}x)[/mm],
> jetzt muss ich mit der Produkregel ableiten, oder?
Produktregel ist hier nicht erforderlich.
Die Faktorregel reicht: Sie besagt, daß konstante Faktoren in der Ableitung einfach erhalten bleiben.
und
Vergiss nicht die Kettenregel für den cos(...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 12.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hi,
>
> > wie bilde ich denn die Ableitung von [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6} \cdot{} x) + 13[/mm]
> > ?
> >
> > die 13 fällt weg, also: [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6}x)[/mm],
> > jetzt muss ich mit der Produkregel ableiten, oder?
>
> Produktregel ist hier nicht erforderlich.
> Die Faktorregel reicht: Sie besagt, daß konstante Faktoren
> in der Ableitung einfach erhalten bleiben.
>
> und
>
> Vergiss nicht die Kettenregel für den cos(...)
[mm] $cos(\bruch{1}{6}x)$
[/mm]
u= cos u'=-sin
v=1/6x v'= 1,6
$f'(x)= 6 [mm] \cdot{} -sin(\bruch{1}{6}x) \cdot{} \bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $f'(3\pi)= [/mm] 6 [mm] \cdot{} -sin(\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi) \cdot{} \bruch{1}{6}$
[/mm]
als erstes den sinus berechnen, dann mal 1/6 und dann mal 6,
[mm] $f'(3\pi)= [/mm] 6 [mm] \cdot{} -sin(\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi) \cdot{} \bruch{1}{6} \approx [/mm] -0,03$
[mm] $\varphi \approx [/mm] -0,03$
m = [mm] tan($\varphi$) [/mm] = - 1,7°, passt dies so? höchstwahrscheinlich nicht.
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> > Hi,
> >
> > > wie bilde ich denn die Ableitung von [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6} \cdot{} x) + 13[/mm]
> > > ?
> > >
> > > die 13 fällt weg, also: [mm]f(x) = 6 \cdot{} cos(\bruch{1}{6}x)[/mm],
Hallo,
so'n Quark! Es ist doch nicht 6 [mm] \cdot{} cos(\bruch{1}{6} \cdot{} [/mm] x) + 13 dasselbe wie 6 [mm] \cdot{} cos(\bruch{1}{6}x.
[/mm]
Das behauptest Du da oben nämlich, und in einer Klausur würde Dir das zum Nachteil gereichen.
Allerdings haben beide Funktionen dieselbe Ableitung, weil die 13 ja beim Ableiten wegfällt.
Ich weiß, daß Du es meintest. Aber Du mußt das unbedingt richtig ausdrücken, nicht zuletzt deshalb, weil Du Dich sonst irgendwann noch selbst wirr machst.
> [mm]cos(\bruch{1}{6}x)[/mm]
>
> u= cos u'=-sin
>
> v=1/6x v'= 1,6
>
>
> [mm]f'(x)= 6 \cdot{} -sin(\bruch{1}{6}x) \cdot{} \bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]f'(3\pi)= 6 \cdot{} -sin(\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi) \cdot{} \bruch{1}{6}[/mm]
>
> als erstes den sinus berechnen, dann mal 1/6 und dann mal
> 6,
>
> [mm]f'(3\pi)= 6 \cdot{} -sin(\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi) \cdot{} \bruch{1}{6} \approx -0,03[/mm]
>
> [mm]\varphi \approx -0,03[/mm]
Das Ergebnis ist völlig verkehrt - obgleich Du alles richtig gemacht hast!!!
Wie kommt das? Weil Du statt Deinen Kopf einzuschalten lieber den Taschenrechner eingeschaltet hast.
Die Aufgabe ist so, daß man keinen Taschenrechner benötigt, und wie man sieht, bekommst Du unnötigerweise das falsche Ergebnis.
Was ist zu berechnen?
[mm] f'(3\pi)= [/mm] 6 [mm] \cdot{} (-sin(\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi)) \cdot{} \bruch{1}{6}
[/mm]
Nun überleg Dir zweierlei: was ergibt [mm] 6*\bruch{1}{6} [/mm] ?
Was ergibt [mm] \bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi?
[/mm]
Wie sieht der Sinus aus? Skizzieren. Das mußt Du ohne nachzugucken können, zumoindest mußt Du die Stellen, an denen er 0 oder 1 ist, herausfinden können. Wenn nicht: lernen!
Wie groß ist nun der Sinus an der fraglichen Stelle?
Wie lautet also das Ergebnis?
Zum Rechnen mit dem TR: wie gesagt ist er hier überhaupt nicht nötig.
WENN Du aber damit rechnest, mußt Du ihn richtig einstellen.
Du hast die Winkel hier im Bogenmaß eingeben, also mußt Du dne Rechner auf Bogenmaß (rad) einstellen.
Alternativ vor dem Eintippen umrechnen ins Gradmaß.
So, mal angenommen, es wäre das Ergebnis von [mm] f'(3\pi) [/mm] wirklich -0.03.
Dann wüßtest Du: Steigung m= [mm] tan\phi [/mm] = -0.03.
Hieraus würde folgen:
[mm] \phi= [/mm] arctan(-0.03) (Umkehrfunktion zum Tangens)
=-1.7°.
Warum ich das erwähne: die Steigung ist dimensionslos und keinesfalls eine Angabe in Grad, wie es bei Dir unten der Fall ist.
Grad ist für Winkel - falls man sie im Gradmaß angibt.
Gruß v. Angela
> $ [mm] \varphi \approx [/mm] -0,03 $
> m = tan([mm]\varphi[/mm]) = - 1,7°, passt dies so?
> höchstwahrscheinlich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 12.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
also an den Stellen x=0 und bei x=1,5 wird der Sinus y=0 und y=1.
$6 [mm] \cdot{} \bruch{1}{6} [/mm] = 1$
[mm] $\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi [/mm] = 1,5$
der Sinus an der fraglichen Stelle ist 1.
also m = tan(1) = 45 ?
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> Hallo,
>
> also an den Stellen x=0 und bei x=1,5 wird der Sinus y=0
> und y=1.
Hallo,
Du weißt, daß es noch viel mehr Stellen gibt, an denen der Sinus =0 ist? Manchmal benötigt man das.
Daß der Sinus bei 1.5 den Wert 1 annimmt, stimmt nicht. Es ist [mm] sin(1.5)\approx [/mm] 0.9975.
Der Sinus nimmt den Wert 1 (u.a.) an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] an. [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] das ist eine exakte Angabe. Ohne Rundungsfehler. Wasserdicht.
Du hast in Deinem Profil nicht eingegeben, welche Schulart Du besuchst. Wenn es ein Gymnasium ist, mußt Du Dich an das exakte Rechnen mit [mm] \pi [/mm] -pa-po gewöhnen. Nicht runden.
Du kannst im Abi keinen Blumentopf gewinnen, wenn Du denen erzählst, daß der Sinus bei 3.1 eine Nullstelle hat.
(Schön ist es allerdings, wenn Du weißt, daß [mm] \pi [/mm] in der Nähe dieser Zahl liegt!)
>
> [mm]6 \cdot{} \bruch{1}{6} = 1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{6} \cdot{} 3\pi = 1,5[/mm]
[mm] =\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
>
> der Sinus an der fraglichen Stelle ist 1.
>
> also m = tan(1) = 45 ?
Nein.
[mm] m=-1=tan\phi [/mm]
==> [mm] \phi= [/mm] -45°
Es ist tan (45°)=1 und tan(-45°)=-1.
[mm] tan(1)\approx [/mm] 0.0175, davon kannst Du Dich mit dem Taschenrechner überzeugen.
Gruß v. Angela
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