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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Entwickeln sie die Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} -cos(x), & x\in [\pi,0) \\
0, & x=0\\
cos(x) , & x\in (0,\pi]\end{cases}[/mm]
in ihre trigonometrische Fourierreihe. |
Hallo :) habe mich nun mit diesem Bsp. befasst, bin mir jedoch nicht sicher ob ich das so richtig gemacht habe, bzw. ob mein Ergebnis stimmt. Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
Als erstes habe ich [mm] $a_0$ [/mm] berechnet:
[mm]a_0= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x))dx)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(x)dx=\frac{-2}{\pi} [/mm]
anschließend habe ich [mm] $a_k$ [/mm] berechnent:
[mm]a_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)cos(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)cos(kx))dx)[/mm]
woraus folgt dass [mm] $a_k=0$.
[/mm]
Nun muss ich ja noch [mm] $b_k$ [/mm] berechnen:
[mm]b_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
[mm]b_k= \frac{2}{\pi}(\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
Nebenrechnung:
[mm]\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx=\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}+\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)cos(kx)}{k}dx[/mm]
setzte [mm] $\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}=A$ [/mm] (damit übersichtlicher)
[mm]\Rightarrow= A+\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)cos(kx)}{k}dx=A+\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
setzte [mm] $\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}=B$
[/mm]
[mm]\Rightarrow= A+B-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
woraus ja folgt:
[mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= A+B-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
[mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= \frac{A+B}{1+\frac{1}{k^{2}}}[/mm]
[mm] $A=\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}$ [/mm] von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] -->
[mm]A=(\frac{-1}{k}(-cos(kx)))-\frac{1}{k}(-1)=\frac{1}{k}cos(kx)+\frac{1}{k}[/mm]
[mm]A=\frac{1}{k}((-1)^{k}+1)[/mm]
[mm] $B=\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}$ [/mm] von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] --> B=0
also folgt daraus dass:
[mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= \frac{A}{1+\frac{1}{k^{2}}}=\frac{((-1)^{k}+1)}{k^{2}+1}[/mm]
weiters müsste dann ja folgen dass:
[mm]b_k=\frac{2((-1)^{k}+1)}{\pi(k^{2}+1)}[/mm]
demnach sollte meine Fourierreihe wie folgt aussehen:
[mm]f(x)\sim\frac{-\pi}{4}+\sum_{k=1}^{\infty}{}\frac{2((-1)^{k}+1)}{\pi(k^{2}+1)}sin(kx)[/mm]
[mm]f(x)\sim\frac{-\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{}\frac{((-1)^{k}+1)}{(k^{2}+1)}sin(kx)[/mm]
bin mir leider absolut nicht sicher ob dieses Ergebnis stimmt :S
Bitte um Kontrolle.
Liebe Grüße eure Meely
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warum verwendest du nicht die tatsache dass die funktion ungerade ist und somit:
[mm] $a_0=0$, $a_k=0$ [/mm] (ohne zu rechnen)
und weiters:
[mm] $cos(x)sin(y)=\frac{1}{2}(sin(x+y)-sin(x-y))$ [/mm]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
Oh ... :( das hätte die Sache wirklich einfacher gestaltet.
Nunja jetzt ist es auch schon zu spät. Aber es wäre so und so gut zu wissen, ob ich richtig gerechnet habe (damit ich auch allgemeine Fälle behandeln kann).
Hoffe jemand von euch ist so lieb und kann mir dabei helfen.
Liebe Grüße Meely :)
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Hallo meely,
> Entwickeln sie die Funktion
>
> [mm]f(x)f(n)=\begin{cases} -cos(x), & x\in [\pi,0) \\
0, & x=0\\
cos(x) , & x\in (0,\pi]\end{cases}[/mm]
>
Das soll doch bestimmt so lauten:
[mm]f(x)=\begin{cases} -cos(x), & x\in [\blue{-}\pi,0) \\
0, & x=0\\
cos(x) , & x\in (0,\pi]\end{cases}[/mm]
> in ihre trigonometrische Fourierreihe.
>
> Hallo :) habe mich nun mit diesem Bsp. befasst, bin mir
> jedoch nicht sicher ob ich das so richtig gemacht habe,
> bzw. ob mein Ergebnis stimmt. Würde mich freuen wenn ihr
> mir helfen könntet.
>
> Als erstes habe ich [mm]a_0[/mm] berechnet:
>
> [mm]a_0= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x))dx)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(x)dx=\frac{-2}{\pi}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
Skizziere Dir hierzu die gegebene Funktion.
Es gilt hieŕ: f(-x)=-f(x) für [mm]0
> anschließend habe ich [mm]a_k[/mm] berechnent:
>
> [mm]a_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)cos(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)cos(kx))dx)[/mm]
>
> woraus folgt dass [mm]a_k=0[/mm].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun muss ich ja noch [mm]b_k[/mm] berechnen:
>
> [mm]b_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
>
Das ist korrekt.
> [mm]b_k= \frac{2}{\pi}(\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
>
Ab hier wird's falsch.
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx=\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}+\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)cos(kx)}{k}dx[/mm]
>
> setzte [mm]\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}=A[/mm] (damit übersichtlicher)
>
> [mm]\Rightarrow= A+\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)cos(kx)}{k}dx=A+\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
>
> setzte [mm]\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}=B[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow= A+B-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
>
>
> woraus ja folgt:
>
>
> [mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= A+B-\int_{0}^{\pi}\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= \frac{A+B}{1+\frac{1}{k^{2}}}[/mm]
>
>
> [mm]A=\frac{-cos(x)cos(kx)}{k}[/mm] von 0 bis [mm]\pi[/mm] -->
>
> [mm]A=(\frac{-1}{k}(-cos(kx)))-\frac{1}{k}(-1)=\frac{1}{k}cos(kx)+\frac{1}{k}[/mm]
>
> [mm]A=\frac{1}{k}((-1)^{k}+1)[/mm]
>
> [mm]B=\frac{cos(x)sin(kx)}{k^{2}}[/mm] von 0 bis [mm]\pi[/mm] --> B=0
>
> also folgt daraus dass:
>
> [mm]\Rightarrow \int_{0}^{\pi}{cos(x)sin(kx)}dx= \frac{A}{1+\frac{1}{k^{2}}}=\frac{((-1)^{k}+1)}{k^{2}+1}[/mm]
>
>
> weiters müsste dann ja folgen dass:
>
>
> [mm]b_k=\frac{2((-1)^{k}+1)}{\pi(k^{2}+1)}[/mm]
>
>
> demnach sollte meine Fourierreihe wie folgt aussehen:
>
> [mm]f(x)\sim\frac{-\pi}{4}+\sum_{k=1}^{\infty}{}\frac{2((-1)^{k}+1)}{\pi(k^{2}+1)}sin(kx)[/mm]
>
> [mm]f(x)\sim\frac{-\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{}\frac{((-1)^{k}+1)}{(k^{2}+1)}sin(kx)[/mm]
>
>
> bin mir leider absolut nicht sicher ob dieses Ergebnis
> stimmt :S
>
Leider stimmt das Ergebnis nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Bitte um Kontrolle.
>
>
> Liebe Grüße eure Meely
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
Hallo MathePower :)
>
> Das soll doch bestimmt so lauten:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -cos(x), & x\in [\blue{-}\pi,0) \\
0, & x=0\\
cos(x) , & x\in (0,\pi]\end{cases}[/mm]
>
ja danke hab ich übersehen dass ich das eine f(n) rauslösche :)
>
> > in ihre trigonometrische Fourierreihe.
> >
> > Hallo :) habe mich nun mit diesem Bsp. befasst, bin mir
> > jedoch nicht sicher ob ich das so richtig gemacht habe,
> > bzw. ob mein Ergebnis stimmt. Würde mich freuen wenn ihr
> > mir helfen könntet.
> >
> > Als erstes habe ich [mm]a_0[/mm] berechnet:
> >
> > [mm]a_0= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x))dx)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(x)dx=\frac{-2}{\pi}[/mm]
>
> >
>
>
> Das stimmt nicht.
>
> Skizziere Dir hierzu die gegebene Funktion.
>
> Es gilt hieŕ: f(-x)=-f(x) für [mm]0
>
>
[mm] $a_0=0$ [/mm] gilt ja wenn die Funktion ungerade ist oder ? bzw [mm] $sin(0)=sin(-\pi)=0$
[/mm]
>
> > anschließend habe ich [mm]a_k[/mm] berechnent:
> >
> > [mm]a_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)cos(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)cos(kx))dx)[/mm]
>
> >
> > woraus folgt dass [mm]a_k=0[/mm].
> >
>
>
>
>
>
> > Nun muss ich ja noch [mm]b_k[/mm] berechnen:
> >
> > [mm]b_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
>
> >
>
>
> Das ist korrekt.
>
>
> > [mm]b_k= \frac{2}{\pi}(\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
> >
>
>
> Ab hier wird's falsch.
>
es gilt doch [mm]\int_{-pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx=\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx[/mm] ?! oder meinst du die nachfolgenden Berechnungen ?
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße und Danke :)))
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Hallo meely,
> Hallo MathePower :)
>
> >
> > Das soll doch bestimmt so lauten:
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} -cos(x), & x\in [\blue{-}\pi,0) \\
0, & x=0\\
cos(x) , & x\in (0,\pi]\end{cases}[/mm]
>
> >
>
> ja danke hab ich übersehen dass ich das eine f(n)
> rauslösche :)
>
> >
> > > in ihre trigonometrische Fourierreihe.
> > >
> > > Hallo :) habe mich nun mit diesem Bsp. befasst, bin mir
> > > jedoch nicht sicher ob ich das so richtig gemacht habe,
> > > bzw. ob mein Ergebnis stimmt. Würde mich freuen wenn ihr
> > > mir helfen könntet.
> > >
> > > Als erstes habe ich [mm]a_0[/mm] berechnet:
> > >
> > > [mm]a_0= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x))dx)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(x)dx=\frac{-2}{\pi}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das stimmt nicht.
> >
> > Skizziere Dir hierzu die gegebene Funktion.
> >
> > Es gilt hieŕ: f(-x)=-f(x) für [mm]0
> >
> >
>
> [mm]a_0=0[/mm] gilt ja wenn die Funktion ungerade ist oder ? bzw
> [mm]sin(0)=sin(-\pi)=0[/mm]
>
Ja.
> >
> > > anschließend habe ich [mm]a_k[/mm] berechnent:
> > >
> > > [mm]a_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)cos(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)cos(kx))dx)[/mm]
>
> >
> > >
> > > woraus folgt dass [mm]a_k=0[/mm].
> > >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Nun muss ich ja noch [mm]b_k[/mm] berechnen:
> > >
> > > [mm]b_k= \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx+ \int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das ist korrekt.
> >
> >
> > > [mm]b_k= \frac{2}{\pi}(\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > Ab hier wird's falsch.
> >
>
> es gilt doch
> [mm]\int_{-pi}^{0}(-cos(x)sin(kx))dx=\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx[/mm]
> ?! oder meinst du die nachfolgenden Berechnungen ?
>
Ab der Formel inklusive derselbigen wird's falsch:
[mm]b_k= \frac{2}{\pi}(\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx)[/mm]
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Liebe Grüße und Danke :)))
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
hallo nochmal :)
ich habe gerade einen Fehler in meiner Nebenrechnung entdeckt:
richtig sollte sein: [mm]A=\frac{1}{k}(1-cos(k\pi))[/mm]
woraus folgt dass:
[mm]\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx=\frac{\frac{1}{k}(1-cos(k\pi))}{1+\frac{1}{k^{2}} }=\frac{1-(-1)^{k}}{k+\frac{1}{k}}[/mm]
also gilt für meine fourierreihe
[mm]f(x)\sim \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}{} \frac{1-(-1)^{k}}{k+\frac{1}{k}}sin(kx)[/mm]
mehr Fehler konnte ich bis jetzt nicht finden :(
Liebe Grüße Meely
PS: oder muss ich wirklich cos(x)sin(y)=(1/2)(sin(x+y)-sin(x-y)) verwenden ? weil wenn ich stur die partielle integration durchführe komme ich offensichtlich immer auf das falsche ergebnis :(
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Hallo meely,
> hallo nochmal :)
>
> ich habe gerade einen Fehler in meiner Nebenrechnung
> entdeckt:
>
> richtig sollte sein: [mm]A=\frac{1}{k}(1-cos(k\pi))[/mm]
>
> woraus folgt dass:
>
> [mm]\int_{0}^{\pi}(cos(x)sin(kx))dx=\frac{\frac{1}{k}(1-cos(k\pi))}{1+\frac{1}{k^{2}} }=\frac{1-(-1)^{k}}{k+\frac{1}{k}}[/mm]
>
> also gilt für meine fourierreihe
>
> [mm]f(x)\sim \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}{} \frac{1-(-1)^{k}}{k+\frac{1}{k}}sin(kx)[/mm]
>
>
> mehr Fehler konnte ich bis jetzt nicht finden :(
>
Schon die erste partielle Integration wurde nicht richtig ausgeführt:
[mm]\integral_{}^{}{cos\left(x\right)*\sin\left(kx\right) \ dx}=\cos\left(x\right)*\left(\ \bruch{-\cos\left(kx\right)}{k}\ \right)-\integral_{}^{}{\left(\ -\sin\left(x\right) \ \right)*\left(\ \bruch{-\cos\left(kx\right)}{k}\ \right) \ dx}[/mm]
[mm]=\cos\left(x\right)*\left(\ \bruch{-\cos\left(kx\right)}{k}\ \right)-\integral_{}^{}{ \sin\left(x\right)*\bruch{\cos\left(kx\right)}{k} \ dx}[/mm]
> Liebe Grüße Meely
>
>
> PS: oder muss ich wirklich
> cos(x)sin(y)=(1/2)(sin(x+y)-sin(x-y)) verwenden ? weil wenn
> ich stur die partielle integration durchführe komme ich
> offensichtlich immer auf das falsche ergebnis :(
>
Dann probier es mal mit diesem genanntenn Additionstheorem.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
Hallo nochmal :)
also mittels dieses theorems bin ich nun auf
[mm]f(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{k*sin(kx)}{4k^{2}-1}}[/mm]
gekommen.
hoffe das ich da nun richtig liege :S
hab mir auch gleich überlegt wie diese reihe konvergiert:
1.) punktweise gegen [mm]f(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] in meinem definitionsbereich außer an den stellen [mm]x=2k\pi+\pi[/mm] , [mm]k\in\IZ[/mm].
2.) keine gleichmäßige konvergenz auf [ [mm]-\pi[/mm],[mm]\pi[/mm] ]
jedoch konvergent gegen f auf [ [mm]-\pi+\epsilon[/mm],[mm]\pi-\epsilon[/mm] ] mit [mm]\epsilon>0[/mm] fest.
3.) konvergenz im sinne der [mm] $L^{2}$ [/mm] Norm: [mm] $f\in L^{2}(-\pi,\pi)$ [/mm] , die funktion konvergiert im quadratmittel.
Liebe Grüße :D
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Hallo meely,
> Hallo nochmal :)
>
> also mittels dieses theorems bin ich nun auf
>
> [mm]f(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{k*sin(kx)}{4k^{2}-1}}[/mm]
>
Diese Koeffizienten gibt es doch nur für gerade k.
> gekommen.
>
> hoffe das ich da nun richtig liege :S
>
> hab mir auch gleich überlegt wie diese reihe konvergiert:
>
> 1.) punktweise gegen [mm]f(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] in meinem
> definitionsbereich außer an den stellen [mm]x=2k\pi+\pi[/mm] ,
> [mm]k\in\IZ[/mm].
>
> 2.) keine gleichmäßige konvergenz auf [ [mm]-\pi[/mm],[mm]\pi[/mm] ]
>
> jedoch konvergent gegen f auf [ [mm]-\pi+\epsilon[/mm],[mm]\pi-\epsilon[/mm]
> ] mit [mm]\epsilon>0[/mm] fest.
>
> 3.) konvergenz im sinne der [mm]L^{2}[/mm] Norm: [mm]f\in L^{2}(-\pi,\pi)[/mm]
> , die funktion konvergiert im quadratmittel.
>
> Liebe Grüße :D
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo meely,
>
> > Hallo nochmal :)
> >
> > also mittels dieses theorems bin ich nun auf
> >
> > [mm]f(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{k*sin(kx)}{4k^{2}-1}}[/mm]
>
> >
>
>
> Diese Koeffizienten gibt es doch nur für gerade k.
>
für k ungerade muss dann gelten dass [mm] $b_k=0$ [/mm] habe ich vergessen zu erwähnen :-S . bin leider etwas ungenau
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße Meely :)
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Hallo meely,
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> > Hallo meely,
> >
> > > Hallo nochmal :)
> > >
> > > also mittels dieses theorems bin ich nun auf
> > >
> > > [mm]f(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{k*sin(kx)}{4k^{2}-1}}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Diese Koeffizienten gibt es doch nur für gerade k.
> >
>
> für k ungerade muss dann gelten dass [mm]b_k=0[/mm] habe ich
> vergessen zu erwähnen :-S . bin leider etwas ungenau
>
Ich habe jetzt erst gemerkt, daß die Koeffizienten erst allgemein
und dann für geradzahlige Koeffizienten 2k eingesetzt wurde.
Dann muss es aber lauten:
[mm]f(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{k\cdot{}sin(\blue{2}kx)}{4k^{2}-1}}[/mm]
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Liebe Grüße Meely :)
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meely |
hallo mathepower und danke für die antwort.
habe ich ansich getan (siehe erste version der frage. war mir dann aber nicht mehr sicher ob das richtig ist :-S
Liebe Grüße Meely
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