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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:48 Mi 29.03.2006 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Es sei ein Dreieck mit den Winkeln $A,B,C$. Bestimme das Maximum des Ausdrucks
$(sin [mm] A)^2+sinB [/mm] sinC cosA$. |
Die Aufgabe ist vom Wettbewerb: Five Hundred Mathematical Challenges.
Hallo zusammen!
Hätte jemand eine pfiffige Idee, wie man das lösen könnte??
Wäre auch für einen guten Ansatz dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Do 13.04.2006 | | Autor: | Brinki |
Ich denke, mit dem Additionstheoreme vom Kosinus kommt man weiter.
Wenn man dann noch bedenkt, dass folgendes gilt:
[mm] cos (\alpha + \beta) = cos (180° - \gamma) = - cos \gamma [/mm],
dann reduziert sich das Problem auf die Maximierung des Produktes
[mm] cos \alpha * cos \beta * cos \gamma [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mo 24.04.2006 | | Autor: | DirkG |
Mit [mm] $2\sin\beta\sin\gamma [/mm] = [mm] \cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)$ [/mm] und wegen [mm] $\beta+\gamma=\pi-\alpha$ [/mm] läuft die Geschichte nach quadratischer Ergänzung auf die Maximierung des Ausdrucks
[mm] $$\frac{1}{8}\left( 8-(2\cos\alpha-\cos(\beta-\gamma))^2+\cos^2(\beta-\gamma)\right)$$
[/mm]
hinaus. Und zu der genügt "scharfes Hinsehen".
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