trennung der variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Im Satz von der Trennung der Variablen heißt es:
Seien I,J [mm] \subset \mathbb{R}, [/mm] f:I [mm] \to \mathbb{R}, [/mm] g:J [mm] \to \mathbb{R} [/mm] beide stetig, [mm] g(y)\neq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] J. Dann heißt die DGL y'=f(x)g(y) in [mm] I\times [/mm] J DGL mit getrennten Variablen.
Warum müssen hier I,J unbedingt offen sein? |
Hallo,
man kann dann ja schön mit einem entsprechenden Satz Lösungen dieser DGL berechnen. Aber warum dürfen I,J nicht auch abgeschlossen sein? Gibts da irgendwo Probleme mit der Diffbarkeit?
Das ist eine allgemeine Frage, keine Aufgabe oder sowas.
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Hallo Unk,
dass [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] offen sein sollen ist in diesem
Fall keine Einschränkung. Z.B. [mm]I=[a,b][/mm] und [mm]J=[c,d][/mm]
zwei abgeschlossene Intervalle in [mm]\mathbb{R}[/mm]. Wenn [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm]
stetig auf [mm]I[/mm] bzw. [mm]J[/mm] sind, dann erst recht auf
[mm](a,b)[/mm] und [mm](c,d)[/mm].
Beste Grüße
Spunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> dass [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] offen sein sollen ist in diesem
> Fall keine Einschränkung. Z.B. [mm]I=[a,b][/mm] und [mm]J=[c,d][/mm]
> zwei abgeschlossene Intervalle in [mm]\mathbb{R}[/mm]. Wenn [mm]f[/mm] und
> [mm]g[/mm]
> stetig auf [mm]I[/mm] bzw. [mm]J[/mm] sind, dann erst recht auf
> [mm](a,b)[/mm] und [mm](c,d)[/mm].
>
> Beste Grüße
> Spunk
Ja klar, bloß das steht halt in jeder Quelle als Voraussetzung. Da dachte ich mir, dass es auch irgendwo für gebraucht wird. Könnte man es also auch einfach weglassen und der Satz über die Trennung der Variablen wäre immer noch richtig?
Also wenn ich jetzt eine DGL mit getrennten Variablen habe y'=f(x)g(y) und die dann entsprechend [mm] \int \frac{dy}{g(y)}=\int [/mm] f(x) dx berechne (das ist ja im Prinzip die Aussage des Satzes), Anfangswert einsetze und eine Lösung erhalte, habe ich dann irgendwo die Offenheit explizit benutzt?
Wenn es um Differentialgleichungen geht, wird fast immer von offenen Mengen geredet. Z.B. y^(k)=f(x,y,y',...,y^(k-1)). Dann wird immer pauschal gleich gesagt, dass f auf einer offenen Teilmenge von [mm] $\mathbb{R} \times (\mathbb{R}^m)^k [/mm] (für y [mm] \in \mathbb{R}^m) [/mm] operieren soll.
Ist das offen denn wirklich notwendig, oder sagt man das mehr aus Konventionsgründen (wobei das auch irgendwie merkwürdig wäre)?
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Hi,
> > Hallo Unk,
> >
> > dass [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] offen sein sollen ist in diesem
> > Fall keine Einschränkung. Z.B. [mm]I=[a,b][/mm] und [mm]J=[c,d][/mm]
> > zwei abgeschlossene Intervalle in [mm]\mathbb{R}[/mm]. Wenn [mm]f[/mm]
> und
> > [mm]g[/mm]
> > stetig auf [mm]I[/mm] bzw. [mm]J[/mm] sind, dann erst recht auf
> > [mm](a,b)[/mm] und [mm](c,d)[/mm].
> >
> > Beste Grüße
> > Spunk
>
> Ja klar, bloß das steht halt in jeder Quelle als
> Voraussetzung. Da dachte ich mir, dass es auch irgendwo
> für gebraucht wird. Könnte man es also auch einfach
> weglassen und der Satz über die Trennung der Variablen
> wäre immer noch richtig?
>
> Also wenn ich jetzt eine DGL mit getrennten Variablen habe
> y'=f(x)g(y) und die dann entsprechend [mm]\int \frac{dy}{g(y)}=\int[/mm]
> f(x) dx berechne (das ist ja im Prinzip die Aussage des
> Satzes), Anfangswert einsetze und eine Lösung erhalte,
> habe ich dann irgendwo die Offenheit explizit benutzt?
Nein. Das wird nicht benutzt (in 1-d).
> Wenn es um Differentialgleichungen geht, wird fast immer
> von offenen Mengen geredet. Z.B.
> y^(k)=f(x,y,y',...,y^(k-1)). Dann wird immer pauschal
> gleich gesagt, dass f auf einer offenen Teilmenge von
> [mm]$\mathbb{R} \times (\mathbb{R}^m)^k[/mm] (für y [mm]\in \mathbb{R}^m)[/mm]
> operieren soll.
> Ist das offen denn wirklich notwendig, oder sagt man das
> mehr aus Konventionsgründen (wobei das auch irgendwie
> merkwürdig wäre)?
>
Im Mehrdimensionalen wird's schon schwieriger. Um allgemeine Sätze zu formulieren sind offene Mengen leichter. Die Ränder machen immer Ärger.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 10.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Im Satz von der Trennung der Variablen heißt es:
> Seien I,J [mm]\subset \mathbb{R},[/mm] f:I [mm]\to \mathbb{R},[/mm] g:J [mm]\to \mathbb{R}[/mm]
> beide stetig, [mm]g(y)\neq[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] J. Dann heißt die
> DGL y'=f(x)g(y) in [mm]I\times[/mm] J DGL mit getrennten Variablen.
> Warum müssen hier I,J unbedingt offen sein?
Das müssen sie nicht !
Schau Dir den Satz z.B. in den Büchern
H.Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen
oder
W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen
an.
Dort sind I und J beliebeige Intervalle.
FRED
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> Hallo,
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> man kann dann ja schön mit einem entsprechenden Satz
> Lösungen dieser DGL berechnen. Aber warum dürfen I,J
> nicht auch abgeschlossen sein? Gibts da irgendwo Probleme
> mit der Diffbarkeit?
>
> Das ist eine allgemeine Frage, keine Aufgabe oder sowas.
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