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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sakaijin |
| Aufgabe | | selbstgestellte Aufgabe keine exakte Fragestellung vorhanden |
ich habe eine transzendente Gleichung der Form:
[mm] cot(qN)=cot(qM)+\bruch{cot(q/2)}{2sin^2(qM)},
[/mm]
wobei M und N natuerliche Zahlen > 0 sind mit N>M. Mir ist bewusst, dass transzendente Gleichungen nur numerisch loesbar sind, allerdings wurde mir eine Naeherung bis zur 1. Ordung gezeigt, die fuer grosse N immer besser passt. Mir ist nicht klar wie diese Naeherung zustande kommt. Deshalb die Frage: wie kann man die folgende Gleichung (1. Ordnung) erhalten?
q = [mm] \bruch{k \pi}{N} (1+\bruch{sin^2(\bruch{k \pi M}{N})}{N}); [/mm] k=1,2,...,N-2 (da 0<q<pi gelten soll)
fuer eine Antwort (allgemein oder fuer dieses Beispiel) waere ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=links.php?op=viewslink&sid=79&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla%253Aen-US%253Aofficial%26hs%3D4v5%26q%3Dpotenzreihenentwicklung%2Btranszendente%2Bgleichung%2Bn%25C3%25A4herung%26btnG%3DSuche%26meta%3D
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Hallo sakaijin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> selbstgestellte Aufgabe keine exakte Fragestellung
> vorhanden
> ich habe eine transzendente Gleichung der Form:
> [mm]cot(qN)=cot(qM)+\bruch{cot(q/2)}{2sin^2(qM)},[/mm]
> wobei M und N natuerliche Zahlen > 0 sind mit N>M. Mir ist
> bewusst, dass transzendente Gleichungen nur numerisch
> loesbar sind, allerdings wurde mir eine Naeherung bis zur
> 1. Ordung gezeigt, die fuer grosse N immer besser passt.
> Mir ist nicht klar wie diese Naeherung zustande kommt.
> Deshalb die Frage: wie kann man die folgende Gleichung (1.
> Ordnung) erhalten?
> q = [mm]\bruch{k \pi}{N} (1+\bruch{sin^2(\bruch{k \pi M}{N})}{N});[/mm]
> k=1,2,...,N-2 (da 0<q<pi gelten soll)
> fuer eine Antwort (allgemein oder fuer dieses Beispiel)
> waere ich sehr dankbar.
Stelle den Cotangens so dar:
[mm]\cot\left(x\right)=\bruch{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}[/mm]
Das führt dann auf einen Rechenweg, bei dem Du mehrfach
![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme anwenden mußt.
Vielleicht kommst Du hiermit zum Ziel.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheplanet.com/default3.html?call=links.php?op=viewslink&sid=79&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla%253Aen-US%253Aofficial%26hs%3D4v5%26q%3Dpotenzreihenentwicklung%2Btranszendente%2Bgleichung%2Bn%25C3%25A4herung%26btnG%3DSuche%26meta%3D
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 Mo 11.08.2008 | | Autor: | sakaijin |
das man additionstheoreme anwenden kann und dann die gleichung in eine andere form bringen kann ist klar. ich habe auch schon sehr stark daran rumgebastelt um es ueberhaupt auf die angegebene form zu bringen. allerdings fuehrt das in keinster weise zu einer entwicklung die ich suche. es geht mir prinzipiell um die frage wie man eine loesung einer transzendenten gleichung naehrungsweise entwickeln kann also DIE TECHNIK.
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> ich habe eine transzendente Gleichung der Form:
> [mm]cot(qN)=cot(qM)+\bruch{cot(q/2)}{2sin^2(qM)},[/mm]
> wobei M und N natuerliche Zahlen > 0 sind mit N>M. Mir ist
> bewusst, dass transzendente Gleichungen nur numerisch
> loesbar sind, allerdings wurde mir eine Naeherung bis zur
> 1. Ordung gezeigt, die fuer grosse N immer besser passt.
> Mir ist nicht klar wie diese Naeherung zustande kommt.
> Deshalb die Frage: wie kann man die folgende Gleichung (1.
> Ordnung) erhalten?
> q = [mm]\bruch{k \pi}{N} (1+\bruch{sin^2(\bruch{k \pi M}{N})}{N});[/mm]
> k=1,2,...,N-2 (da 0<q<pi gelten soll)
Ich frage mich, ob dies wirklich eine "echt" transzendente
Gleichung ist. Mit den Substitutionen c=cos(q/2) und s=sin(q/2)
müsste sich die Gleichung prinzipiell in eine Polynomgleichung
in c und s umformen lassen. Zusammen mit [mm] c^2+s^2=1 [/mm] kommt
man jedenfalls auf algebraische, also nicht transzendente Gleichungen.
Wegen den M und N wird die Gleichung trotzdem recht komplex,
und man kann deshalb zum Schluss kommen, sie mit Methoden
zu behandeln, wie man sie auch für transzendente Gleichungen
(und dort zwingend) einsetzt. Dies wären Näherungsverfahren
wie z.B. die Methode von Newton/Raphson.
Wie die angegebene Näherungsformel zustande gekommen ist,
sehe ich im Moment nicht - man könnte aber zum Beispiel
untersuchen, ob darin etwa einfach ein Newton-Näherungsschritt
(mit Startwert [mm] q_0=\bruch{k*\pi}{N}) [/mm] realisiert ist.
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mo 11.08.2008 | | Autor: | sakaijin |
ja sie ist durch die M, N echt transzendent. danke fuer den Tip mit Newton-Raphson.
Zu der zweiten Anmerkung: das hat damit zu tun, dass es sich um ein physikalisches Problem handelt. Es ist eine N Teilchen (harmonisch schwingende) Kette mit einer Anharmonizitaet an Stelle M. Die Loesung des Problems fuer eine Kette OHNE Anharmonizitaet waere [mm] \bruch{\pi k}{N}, [/mm] die Loesungen fuer das Problem mit M sind dann nicht mehr EXAKT auf diesem [mm] \bruch{\pi k}{N} [/mm] sondern nur noch in den Intervallen [mm] \bruch{\pi k}{N}, \bruch{\pi k+1}{N}. [/mm] Deshalb die Naeherung in der Form.
Ich suche jetzt mal nach dem Verfahren und Danke...
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> ja sie ist durch die M, N echt transzendent.
Das glaube ich eben nicht. Weil M und N ganzzahlig sind,
lassen sich die trigonometrischen Funktionen von qM und
qN als Polynome in den Variablen c=cos(q/2) und s=sin(q/2)
ausdrücken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mo 11.08.2008 | | Autor: | sakaijin |
Also ich bin mir zu 100% sicher, dass die Gleichung echt transzendent ist:
wie man ja auch an der angegebenen Loesung sieht (1.Ordnung), da erscheint naemlich ein Term [mm] \sin^2(\bruch{\pi k M}{N}) [/mm] was kein algeabraisches Polynom ist
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> Also ich bin mir zu 100% sicher, dass die Gleichung echt
> transzendent ist:
> wie man ja auch an der angegebenen Loesung sieht
> (1.Ordnung), da erscheint naemlich ein Term
> [mm]\sin^2(\bruch{\pi k M}{N})[/mm] was kein algebraisches Polynom ist
(wenn ich richtig verstanden habe, ist diese Lösung ohnehin
nur eine Näherung und kann deshalb für Fragen betr. Algebraizität
oder Transzendenz der Gleichung kaum behilflich sein)
Ich möchte kurz erklären, was ich unter einer "echt transzendenten"
Gleichung verstehe. Beispiele dafür wären etwa:
cos(x)=x
[mm] e^x=4x
[/mm]
Sie können grundsätzlich nicht algebraisch aufgelöst werden.
Dagegen haben Gleichungen wie etwa cos(x)=0.1 oder [mm] e^x=5
[/mm]
zwar transzendente Lösungen, aber diese lassen sich doch auf
einfache Weise mittels der gebräuchlichen Umkehrfunktionen
darstellen:
cos(x)=0.1 hat die Lösungen [mm] x=2*k*\pi±arccos(0.1)\qquad(k\in \IZ)
[/mm]
[mm] e^x=5 [/mm] hat die Lösung x=ln(5)
Auch eine Gleichung wie etwa
[mm] cot(5x)=cot(3x)+\bruch{cot(x/2)}{2*sin^2(3x)}
[/mm]
könnte so aufbereitet werden, dass man am Schluss im Intervall
[mm] 0\le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] Lösungen der Form
[mm] x_i=arccos(t_i) [/mm]
erhält, wobei die [mm] t_i [/mm] Nullstellen rationaler Polynome sind.
In diesem Sinne liegt hier (und auch in der gestellten Aufgabe)
keine "echt" transzendente Gleichung vor.
LG
Nachsatz:
Ob die Gleichung transzendent ist oder nicht, spielt für die
Aufgabe selber natürlich kaum eine Rolle !
Leider habe ich immer noch nicht gesehen, wie man auf
die angegebene Näherungsformel für die Lösungen kommt.
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