transzendent-irrationale Zahle < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Lothar60 |
Sind die Inversen der transzendent-irrationalen Zahlen ebenso transzendent - irrational ? Also z. B. 1/pi oder 1/e ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lothar60, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sind die Inversen der transzendent-irrationalen Zahlen
> ebenso transzendent - irrational ? Also z. B. 1/pi oder 1/e
> ?
Ja.
Das lässt sich recht leicht über einen Widerspruchsbeweis zeigen.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 So 12.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sind die Inversen der transzendent-irrationalen Zahlen
> > ebenso transzendent - irrational ? Also z. B. 1/pi oder 1/e
> > ?
>
> Ja.
Man kann das sogar noch verallgemeinern: ist $f$ eine rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten, die nicht konstant ist (also $f = g/h$ mit $g, h [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] und [mm] $\max\{ \deg g, \deg h \} \ge [/mm] 1$), dann ist $f(t)$ genau dann transzendent, wenn $t$ transzendent ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Di 14.10.2014 | | Autor: | reverend |
Moin Felix,
> Moin!
>
> > > Sind die Inversen der transzendent-irrationalen Zahlen
> > > ebenso transzendent - irrational ? Also z. B. 1/pi oder 1/e
> > > ?
> >
> > Ja.
>
> Man kann das sogar noch verallgemeinern: ist [mm]f[/mm] eine
> rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten, die nicht
> konstant ist (also [mm]f = g/h[/mm] mit [mm]g, h \in \IZ[x][/mm] und [mm]\max\{ \deg g, \deg h \} \ge 1[/mm]),
> dann ist [mm]f(t)[/mm] genau dann transzendent, wenn [mm]t[/mm] transzendent
> ist.
Spannende Anmerkung. Darüber habe ich mir noch gar keine Gedanken gemacht und kanns auch gerade nicht aus dem Ärmel beweisen (was natürlich ausschließlich an meinem ärmellosen T-Shirt liegt  ).
Könnte es hilfreich sein, dass eine Zahl nicht algebraisch und transzendent zugleich sein kann?
Herzliche Grüße
rev
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 14.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Martin,
> > > > Sind die Inversen der transzendent-irrationalen Zahlen
> > > > ebenso transzendent - irrational ? Also z. B. 1/pi oder 1/e
> > > > ?
> > >
> > > Ja.
> >
> > Man kann das sogar noch verallgemeinern: ist [mm]f[/mm] eine
> > rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten, die nicht
> > konstant ist (also [mm]f = g/h[/mm] mit [mm]g, h \in \IZ[x][/mm] und [mm]\max\{ \deg g, \deg h \} \ge 1[/mm]),
> > dann ist [mm]f(t)[/mm] genau dann transzendent, wenn [mm]t[/mm] transzendent
> > ist.
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> Spannende Anmerkung. Darüber habe ich mir noch gar keine
> Gedanken gemacht und kanns auch gerade nicht aus dem Ärmel
> beweisen (was natürlich ausschließlich an meinem
> ärmellosen T-Shirt liegt ).
>
> Könnte es hilfreich sein, dass eine Zahl nicht algebraisch
> und transzendent zugleich sein kann?
In irgendeinem Sinne vielleicht schon 
Was man benutzt ist folgendes: $x$ ist genau dann transzendent ueber einem Koerper $K$, wenn [mm] $\dim_K [/mm] K(x) = [mm] \infty$ [/mm] ist.
Weiterhin benutzt man den Multiplikationssatz für Körperdimensionen: ist $E/L/K$ ein Körperturm, so ist [mm] $\dim_K [/mm] E = [mm] \dim_K [/mm] L [mm] \cdot \dim_L [/mm] E$.
Wenn $x$ transzendent über $K$ ist, so ist [mm] $\dim_K [/mm] K(x) = [mm] \infty$. [/mm] Ist nun $v = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] eine nicht-triviale rationale Funktion (mit $p, q [mm] \in [/mm] K[t]$ gekuerzt, also ist [mm] $\max\{ \deg p, \deg q \} \ge [/mm] 1$), so betrachtet man den Körperturm $K(x) / K(p(x)/q(x)) / K$. Das Ziel ist jetzt zu zeigen, dass die Erweiterung $K(x) / K(p(x) / q(x))$ endliche Dimension hat -- aus dem Multiplikationssatz folgt dann, dass $K(p(x)/q(x))$ unendliche Dimension über $K$ haben muss, womit $p(x)/q(x)$ transzendent über $K$ ist.
Wegen $K(x) = K(p(x)/q(x))(x)$ reicht es dafür aus zu zeigen, dass es ein nicht-triviales Polynom $f [mm] \in [/mm] K(p(x)/q(x))[T]$ gibt mit $f(x) = 0$. Wegen $p(x)/q(x) [mm] \in [/mm] K(p(x)/q(x))$ kann man $f = p(T) - p(x)/q(x) [mm] \cdot [/mm] q(T)$ nehmen -- damit gilt trivialerweise $f(x) = 0$ und $f [mm] \in [/mm] K(p(x)/q(x))[T]$. Man muss nur noch zeigen, dass $f$ nicht das Nullpolynom ist. Aber das ist auch nicht so schwer.
Mit minimalem Mehraufwand kann man schliesslich zeigen, dass $f$ irreduzibel ist. Mit [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \max\{ \deg p, \deg q \}$ [/mm] folgt dann, dass die Erweiterung $K(x) / K(p(x)/q(x))$ den Grad [mm] $\max\{ \deg p, \deg q \}$ [/mm] hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mi 15.10.2014 | | Autor: | reverend |
Moin Felix,
das hätte ich mir leichter vorgestellt - in dieser Form kann ich das mit Mühe noch nachvollziehen, aber ich hätte keine Möglichkeit, selbst darauf zu kommen. So weit habe ich mich da nie eingearbeitet.
Danke also für die Beweisskizze! Vielleicht hilft sie ja jemand anderem noch mehr.
Herzliche Grüße
rev
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