transponieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Es seien A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] und x,y [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
Berechnen Sie
a) [mm] x^{T} [/mm] y
b) [mm] xy^{T}
[/mm]
c) [mm] x^{T} A^{T} [/mm] x
d) [mm] xx^{T} A^{T} [/mm] |
Hallo ,
ich weiß wie man Matrizen transponiert : Die Zeilen werden zu den Spalten und die Spalten werden zu den Zeilen also ist A z.B
eine 3x4 Matrix ( nicht in bezug jetzt auf die aufgabe denn da ist A ja
[mm] \in \IR^{n,n} [/mm] ) dann ist [mm] A^{T} [/mm] eine 4x3 Matrix
Aber wie transponiert man Skalare ?
was ist [mm] x^{T}und [/mm] wie berechne ich zum Beispiel [mm] x^{T} A^{T} [/mm] x ?
ich kenna A doch garnicht , wie sieht hier das Ergebnis einer solchen Berechnung aus ???
lg
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Thomas,
meiner Meinung nach sind x und y keine Skalare sondern Vektoren 
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Fr 16.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Thomas
> Es seien A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm] und x,y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
>
> Berechnen Sie
>
> a) [mm]x^{T}[/mm] y
>
> b) [mm]xy^{T}[/mm]
>
> c) [mm]x^{T} A^{T}[/mm] x
>
> d) [mm]xx^{T} A^{T}[/mm]
>
> ich weiß wie man Matrizen transponiert : Die Zeilen werden
> zu den Spalten und die Spalten werden zu den Zeilen also
> ist A z.B
> eine 3x4 Matrix ( nicht in bezug jetzt auf die aufgabe denn
> da ist A ja
> [mm]\in \IR^{n,n}[/mm] ) dann ist [mm]A^{T}[/mm] eine 4x3 Matrix
Genau.
> Aber wie transponiert man Skalare ?
Wie Herby schon gesagt hast: du meinst wohl eher Vektoren. Aber zu deiner Frage: einen Skalar kannst du als $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix auffassen. Transponieren aendert ihn also nicht die Bohne.
Zu den Vektoren: $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] kannst du auch als Matrix interpretieren, mit einer Spalte und $n$ Zeilen, also als $n [mm] \times [/mm] 1$-Matrix. Wenn du das jetzt transponierst, bekommst du eine $1 [mm] \times [/mm] n$-Matrix. Das bezeichnet man dann auch als Zeilenvektor (weil's eine Zeile ist), und das urspruengliche $x$ als Spaltenvektor (weil's eine Spalte ist).
> was ist [mm]x^{T}und[/mm] wie berechne ich zum Beispiel [mm]x^{T} A^{T}[/mm]
> x ?
Das sollte damit geklaert sein.
> ich kenna A doch garnicht , wie sieht hier das Ergebnis
> einer solchen Berechnung aus ???
Schreib $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$, [/mm] sprich $A = [mm] \pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} }$. [/mm] Und natuerlich $x = [mm] \pmat{ x_1 \\ \vdots \\ x_n }$ [/mm] und $y = [mm] \pmat{ y_1 \\ \vdots \\ y_n }$.
[/mm]
Dann ist [mm] $x^T A^T [/mm] y = [mm] \pmat{ x_1 & \cdots & x_n } \pmat{ a_{11} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{nn} } \pmat{ y_1 \\ \vdots \\ y_n }$. [/mm] Das kannst du jetzt ganz normal ausrechnen.
(Als Tipp nebenbei: ueberleg dir erst, wie gross das Ergebnis ist; das ist ja wieder 'ne Matrix.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo
also bei
[mm] x^T A^T [/mm] y = [mm] \pmat{ x_1 & \cdots & x_n } \pmat{ a_{11} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{nn} } \pmat{ y_1 \\ \vdots \\ y_n } [/mm]
bekomme ich als ergebnis dor eien 1x1 matrixh also ein skalar oder ??
denn [mm] x^{T} [/mm] ist eine 1xn Matrix also ein Zeilenvektor
díese Multipliziert mit [mm] A^{T} [/mm] ergibt wieder eine 1xn Matrix ( Zeilenvektor)
und ein Zeilenvektor( 1xn Matrix) multipliziert mit einem Vektor
( nx1 )Matrix ergibt dor eine 1x1 Matrix, ein skalar :
mein ergebnis :
[mm] (x_{1}a_{11}+...+x_{n}a_{1n})*y_{1} [/mm]
+ .......................
..........................
+ [mm] (x_{n}a_{n1}+...+x_{n}a_{nn})*y_{n}
[/mm]
Richtig??
lg
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Fr 16.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Thomas!
> also bei
>
> [mm]x^T A^T[/mm] y = [mm]\pmat{ x_1 & \cdots & x_n } \pmat{ a_{11} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{nn} } \pmat{ y_1 \\ \vdots \\ y_n }[/mm]
>
>
>
> bekomme ich als ergebnis dor eien 1x1 matrixh also ein
> skalar oder ??
Ja.
> denn [mm]x^{T}[/mm] ist eine 1xn Matrix also ein Zeilenvektor
>
> díese Multipliziert mit [mm]A^{T}[/mm] ergibt wieder eine 1xn
> Matrix ( Zeilenvektor)
>
> und ein Zeilenvektor( 1xn Matrix) multipliziert mit einem
> Vektor
> ( nx1 )Matrix ergibt dor eine 1x1 Matrix, ein skalar :
>
> mein ergebnis :
>
> [mm](x_{1}a_{11}+...+x_{n}a_{1n})*y_{1}[/mm]
> + .......................
> ..........................
> + [mm](x_{n}a_{n1}+...+x_{n}a_{nn})*y_{n}[/mm]
>
> Richtig??
Ja.
Wobei es angenehmer ist dies mit hilfe von Summenzeichen zu schreiben: [mm] $\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^n x_\ell a_{k\ell} y_k$.
[/mm]
Die Schreibweise solltest du dir auch angewohenen, das macht manche Sachen wesentlich uebersichtlicher. (Ok, andere dafuer wieder nicht, gerade wenn man Teleskopsummen macht, aber es gibt halt nichts was ueberall fuer perfekt ist...)
LG Felix
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