trägheitsmomente < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 21.01.2010 | | Autor: | dom88 |
hallo,
ich bin bisher immer davon ausgegangen, dass ich bei der berechnung des trägheitsmoments bezüglich einer BELIEBIGEN achse meine integralgrenzen
so setze:
ich schau mir einfach die länge höhe und tiefe des körpers an. dies sind dann meine grenzen. bei krummlinigen koordinaten entsprechend.
bei mehreren beispielen ist mir jetzt aber aufgefallen, dass das NICHT so einfach ist.
bsp.
das integrall zur berechnung des trägheitsmoments bezüglich der z-achse würde so ausssehen:
[mm] I_{z}=\delta \integral_{0}^{L}{dz}\integral_{0}^{2\pi}{d\mu}\integral_{0}^{r}{dr r^2}
[/mm]
Nun würde ich noch ganz gerne das T-Moment bezüglich der x-Achse berechnen udn dafür muss zuerst das [mm] r^2 [/mm] verändert werden:
[mm] r^2 \Rightarrow r^2sin^2+z^2
[/mm]
und nun muss man noch die integralgrenze der höhe verändern: [mm] \integral_{0}^{L} \Rightarrow \integral_{0}^{\bruch{L}{2}}
[/mm]
mir wurde erklärt das man immer die grenzen ausgehend vom schwerpunkt der körpers messen soll.
dann müsste ich aber beim trägheitsmoment bezüglich der z-achse auch die grenzen in der höhe verändern da doch da ausgehend vom schwerpunkt die länge auch nur [mm] \bruch{L}{2} [/mm] beträgt.
wo ist hier der unterschied?
danke für eure hilfe
dom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Do 21.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Das Trägheitsmoment wird bezogen auf die Drehachse berechnet. Zuerst legst Du die Achse fest. Dann zerlegst Du den Körper in Scheiben, die senkrecht zu dieser Achse stehen. Für jede Scheibe berechnest Du das Trägheitsmomet, indem Du per Integration alle Stücke mit ihren Massen dm und ihrem Abstand zur Drehachse quadriert aufsammelst.
Wenn die Drehachse die z-Achse ist, dann musst Du bei den Scheiben in x und y Richtung integrieren.
Nun hast Du für jede Scheibe mit der Dicke dz ein Trägheitsmoment [mm] d\Theta. [/mm] Die musst Du nur noch alle aufaddieren, sprich integrieren. Da komm nun der Abstand zur Drehachse nicht mehr rein.
Aus Symmetriegründen ist es meistens angebracht, das Trägheitsmoment für eine Achse durch den Schwerpunkt zu berechnen. Das ist weniger mühsam. Wenn man es dann für eine andere, parallele Achse benötigt, nimmt man den Satz von Steiner.
"mir wurde erklärt das man immer die grenzen ausgehend vom schwerpunkt der körpers messen soll.""
Damit nutzt Du die Symmetrie des Körpers aus.
"dann müsste ich aber beim trägheitsmoment bezüglich der z-achse auch die grenzen in der höhe verändern da doch da ausgehend vom schwerpunkt die länge auch nur $ [mm] \bruch{L}{2} [/mm] $ beträgt."
Da Du in z-Richtung keinen [mm] z^2 [/mm] Term für den Abstand zur Drehachse hast, ist die Festlegung des Bezugspunktes für die Integration egal. Du musst nur alle [mm] d\Theta [/mm] aufsammeln. Ob Du da von 0 bis L oder von [mm] $-\bruch{L}{2} [/mm] $ bis $ [mm] \bruch{L}{2} [/mm] $ machst, ist Geschmackssache.
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Hallo!
Das mit dem Schwerpunkt hat speziell den Grund, daß Das Trägheitsmoment immer auf den Schwerpunkt bezogen ist. Es ist auch immer das kleinste Trägheitsmoment, weil die Trägheitsmomente bezüglich parallel verschobenen Achsen nach Steiner immer größer sind.
Allerdings sehe ich kein MUSS darin, dringend den Schwerpunkt als Ursprung zu nehmen. Denn man kann ja den Satz von Steiner auch rückwärts nehmen.
Beispiel Halbkugel. Hier bietet sich das Kugelkoordinatensystem ja an, mit Ursprung im Mittelpunkt der Grundfläche. In Bezug zu diesem kann man sowohl das Trägheitsmoment also auch den Schwerpunkt leicht bestimmen, während eine Schwerpunktbestimmung und anschließende TM-Berechnung bezüglich des Schwerpunktes sicherlich masochistisch geprägt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Fr 22.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Sicherheitshalber möchte ich doch nachtragen: Das Trägheitsmoment ist immer auf eine Achse bezogen.
Den Streit, ob die per Konvention immer durch den Schwerpunkt geht, will ich nicht führen.
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Hallo!
Das ist richtig. Etwas allgemeinter als das Trägheitsmoment wäre der Trägheitstensor (3x3-Matrix) [mm] \mathcal{J}, [/mm] damit kann man dann mit Drehungen um beliebige Drehachsen [mm] \omega [/mm] weiterrechnen: [mm] \vec{L}=\mathcal{J}\omega [/mm]
Einen Streit um den Schwerpunkt gibt es eigentlich nicht. Man gibt grundsätzlich das Drehmoment bezüglich einer Drehung um den Schwerpunkt an (Die Richtung muß aber zur Berechnung gegeben werden), es sei denn, es wird was anderes gesagt, oder es ergibt sich was anderes aus dem Kontext.
Bei der Drehung einer Kurbel kann man sicher davon ausgehen, daß da NICHT der Schwerpunkt, sondern das Lager gemeint ist.
Und beim Rechnen würd ich mir keinen all zu großen Kopf machen, solange das Ergebnis hinterher zur gewünschten Achse gehört.
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