totale differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 26.01.2005 | | Autor: | niclas |
hallo,
ich habe probleme mit dem verständnis der totalen differenzierbarkeit von Funtionen mehrerer Veränderlicher:
1.
hier zwei aufgaben:
a)
f(x;y)=e^(x+y)
b)
$ [mm] f(x;y)=e^x+e^y [/mm] $
sind diese Funtionen in (1;1) total differenzierbar?wenn ja wie lautet die tagentialebene?
Das ist die Aufgabe, Lösung habe ich auch, ich verstehe das verfahren aber nicht. kann mir bitte jemand erklären was es mit der totalen differenzierbarkeit auf sich hat und wie ich allgemein solche aufgaben löse?
2.
was ist der Gradient bzw. wie berechnet man ihn bei Funtionen mehrerer Veränderlicher?
vielen dank im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ein hinreichendes Kriterium für die totale Differenzierbarkeit einer Funktion ist die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
Hier sind deine partiellen Ableitungen
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] e^y$
[/mm]
aber offenbar beide in $(1,1)$ stetig, so dass deine Funktion $f$ dort total differenzierbar ist.
Das totale Differential an der Stelle $(1,1)$ wird hier einfach durch den Gradienten an dieser Stelle gegeben.
Der Gradient ist hier allgemein:
$(Grad(f))(x,y) = [mm] \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right) [/mm] = [mm] (e^x,e^y)$,
[/mm]
also speziell im Punkt $(1,1)$:
$(Grad(f))(1,1) = (e,e)$.
Die Tangentialebene in einem Punkt $(a,f(a))$ wir allgemein durch die Gleichung
$y = f(a) + (Grad(f))(a) [mm] \cdot [/mm] (x-a)$
(wenn man den Gradienten als Zeilenvektor und alles andere als Spaltenvektor auffasst).
gegeben. Im Punkt $(1,1)$ sieht sie bei uns also so aus:
$y = [mm] e^2 [/mm] + (e,e) [mm] \cdot \pmat{x_1-1 \\x_2-2} [/mm] = [mm] e^2 [/mm] + [mm] ex_1 [/mm] + [mm] ex_2 [/mm] - 2e$.
Also: Alle Punkte [mm] $(x_1,x_2,y) \in \IR^3$, [/mm] die der Gleichung
$y = [mm] ex_1 [/mm] + [mm] ex_2 [/mm] + [mm] e^2 [/mm] - 2e$
genügen, liegen auf der Tangentialebene der Hyperfläche des Graphen im [mm] $\IR^3$ [/mm] im Punkte [mm] $((1,1),e^2)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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