totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Sa 26.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}, &\mbox{für} (x,y)\neq (0,0) \\ 0, &\mbox{für} (x,y)=(0,0)\end{cases}
[/mm]
Ist f im Nullpunkt total differenzierbar? |
Hallo.
Ich habe die Funktion für [mm] (x,y)\neq(0,0) [/mm] partiell nach x bzw y abgeleitet und für (x,y)=(0,0) mit dem Differenzenquotient argumentiert und erhalte, dass die partielle Ableitung nach x bzw y in (0,0) gleich 0 ist. Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass die partiellen Ableitungen in 0 nicht stetig sind.
Kann ich das so machen:
[mm] \limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=1
[/mm]
[mm] \limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=1
[/mm]
[mm] \limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0
[/mm]
??
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Es sei [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}, &\mbox{für} (x,y)\neq (0,0) \\ 0, &\mbox{für} (x,y)=(0,0)\end{cases}[/mm]
>
> Ist f im Nullpunkt total differenzierbar?
>
> Hallo.
Hallo,
> Ich habe die Funktion für [mm](x,y)\neq(0,0)[/mm] partiell nach x
> bzw y abgeleitet und für (x,y)=(0,0) mit dem
> Differenzenquotient argumentiert und erhalte, dass die
> partielle Ableitung nach x bzw y in (0,0) gleich 0 ist.
Wie kommst Du darauf? Das widerspricht doch Deinen unten stehenden Berechnungen! Zunächst leitest Du die Funktion
[mm] $f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}, &\mbox{für} (x,y)\neq (0,0) \\ 0, &\mbox{für} (x,y)=(0,0)\end{cases}$
[/mm]
für [mm] $(x,y)\neq(0,0)$ [/mm] nach $x$ ab und erhälst:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$
[/mm]
Nun gilt aber
[mm] $\limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=1\neq 0=\limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)$
[/mm]
Das heißt, wir nähern uns dem Nullpunkt (im Definitionsbereich) aus zwei unterschiedlichen Richtungen und erhalten zwei unterschiedliche Grenzwerte. Damit lässt sich die partielle Ableitung [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}$ [/mm] nicht in den Ursprung stetig fortsetzen. Bei der anderen partiellen Ableitung [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}$ [/mm] ist diese Beobachtung ähnlich.
> Jetzt muss ich ja noch zeigen, dass die partiellen
> Ableitungen in 0 nicht stetig sind.
> Kann ich das so machen:
> [mm]\limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0[/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet! Es ist:
[mm] $\limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=1$
[/mm]
[mm] $\limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$
[/mm]
[mm] $\limes_{y\to0} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=1$
[/mm]
> ??
> grüße, moerni
Lieben Gruß
Denny
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