totale Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei I [mm] \subset \IR [/mm] offenes Intervall, f: I [mm] \to \IR [/mm] Funktion:
f diff'bar in x [mm] \in [/mm] I : [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] =: f'(x) existiert
[mm] \gdw \exists [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] (nämlich a = f'(x)) mit
f(x+h) - f(x) = ah + r(h) mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{r(h)}{h} [/mm] = 0
[mm] [\bruch{r(h)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] - [mm] \bruch{ah}{h} \to [/mm] 0 für a = f'(x)] |
| Aufgabe 2 | mehrdim. Erweiterung dieses Ansatzes:
Nun x,h [mm] \in \IR^n. [/mm] Die Abb. h [mm] \mapsto [/mm] ah, [mm] \IR \to \IR [/mm] wird im mehrdim. ersetzt durch eine lin. Abb.: L: [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] h [mm] \mapsto [/mm] L(h) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ih_i [/mm] mit a = [mm] (a_1, [/mm] ..., [mm] a_n) \in \IR^n
[/mm]
Also: L(h) = <a,h> := [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ih_i
[/mm]
Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen, f: U [mm] \to \IR [/mm] bzw. [mm] \IC. [/mm] f heißt (total) diff'bar in einem x [mm] \in [/mm] U, falls
[mm] \exists [/mm] lin. Abb. L: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] bzw. [mm] \IC, [/mm] L(h) = <a,h> = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ih_i (a\in \IR^n [/mm] bzw. [mm] \IC^n) [/mm] mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h) - f(x) - L(h)}{||h||_2} [/mm] = 0
Dies ist äquivalent zu:
f(x+h) - f(x) = L(h) + r(h) mit [mm] \bruch{r(h)}{||h||_2} \to [/mm] 0 (h [mm] \to [/mm] 0)
Die lin. Abb. df(x) := L heißt das Differential (oder totale Ableitung) von f in x [mm] \in [/mm] U. L wird dargestellt durch den Vektor a = [mm] (a_1, [/mm] ... , [mm] a_n) [/mm] mit L(h) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ih_i. [/mm] Dabei: [mm] a_i [/mm] = [mm] L(e_i) [/mm] i=1,...,n. Oft wird der Vektor a statt L die Ableitung von f in x genannt. Schreibweise: df(x) = a (statt L). |
So, ich hab dann gleich mal mehrere Verständnisprobleme:
Mir ist die Defintion in Aufgabe 1 (ich hab das einfach mal in "Aufgaben" unterteilt) an sich ja klar, aber wo genau kommt denn plötzlich das "r(h)" her??? Ich kann das an sich alles nachvollziehen, aber mir ist nicht ganz klar, wie ich darauf komme... (bei Aufgabe 2 natürlich ähnlich)
Bei Aufgabe 2 habe ich ein Problem mit der lin. Abb. L. Wie komme ich denn darauf? Wahrscheinlich ist das ja gar nicht so wichtig, aber für's Verständnis fänd ich das schon gut zu wissen...
LG fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Fr 06.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das r kommt von "Rest" im Sinne von Fehler, d.h. der Differenzenquotient stimmt mit dem Differentialquotient (Ableitung) bis auf r/h überein.
Das folgt aus der Def. des [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}=f'(x) [/mm] $
Gruss leduart
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> Hallo
> das r kommt von "Rest" im Sinne von Fehler, d.h. der
> Differenzenquotient stimmt mit dem Differentialquotient
> (Ableitung) bis auf r/h überein.
> Das folgt aus der Def. des [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}=f'(x)[/mm]
>
> Gruss leduart
Hallo leduart
Also darf ich das so verstehen:
Aus [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}=f'(x)[/mm] folgt durch Multiplikation mit h : f(x+h) - f(x) = f'(x) * h = a * h, wobei ich hier den Grenzübergang außer Acht lasse. Um den zu berücksichtigen addiere ich die Fkt. r mit [mm] \bruch{r(h)}{h} \to [/mm] h für h [mm] \to [/mm] 0 ?
Ferner entspricht ja f(x+h) - f(x) nicht f'(x), deshalb hab ich also den entsprechenden Fehler (hier also die Fkt r) zu berücksichtigen ?
So richtig, oder hab ich das immernoch nicht verstanden?
LG fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Sa 07.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Aus [mm] $\lim_{h\to0}h^{-1}(f(x+h)-f(x))=a$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{h\to0} h^{-1}(f(x+h)-f(x)-ah)=0$. [/mm] Aber $f(x+h)-f(x)-ah$ ist doch genau das $r(h)$!
Nur so zum Verständnis: Anschaulich bedeutet Differenzierbarkeit in einem Punkt [mm] $x_0$, [/mm] dass sich f dort gut durch eine affine Funktion (also eine Funktion der Form [mm] $x\mapsto [/mm] b+Ax$ mit einer linearen Abbildung A) approximieren lässt, nämlich [mm] $T_f(x)=f(x_0)+A\cdot(x-x_0)$. [/mm] Jetzt muss man noch sagen was "gut approximieren" heißt, und zwar fordert man dass der durch die affine Approximation gemachte Fehler [mm] $r(h):=f(x_0+h)-T_f(x_0+h)$ [/mm] schnell gegen Null geht, und zwar [mm] $\lim_{h\to0}r(h)/h=0$. [/mm] Das ist (totale) Differenzierbarkeit...
Die lineare Abbildung A heißt dann die Ableitung von f in [mm] $x_0$.
[/mm]
Gruß, Robert
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