totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen. Zeigen Sie, dass für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ gilt: $l'(v)=l$. |
Hallo,
wir haben Ableitungen im Mehrdimensionalen wie folgt definiert. Ist $f:D [mm] \to [/mm] W$ eine Funktion mit $D [mm] \subset [/mm] V$, so heißt die lineare Funktion $g:V [mm] \to [/mm] W$ Ableitung von $f$ in $a [mm] \in [/mm] D$, falls
[mm] $\lim_\limits{v \to 0}$ $\frac{f(a+v)-f(v)-g(v)}{||v||}=0$ [/mm] gilt.
Ist nun $l$ linear, und bezeichne $g$ die Ableitung an einer bel. Stelle $a [mm] \in [/mm] V$, so gilt nach Definition und Ausnutzung der Linearität
[mm] $\lim_\limits{v \to 0} $$\frac{l(v)-g(v)}{||v||}=0$.
[/mm]
Kann man hieraus tatsächlich schon folgern, dass $l=g$ gilt? Irgendwie nicht, oder? Es könnte doch trotzdem noch ein $v$ geben, sodass der Zähler von Null verschieden ist. Sehe ich das falsch? Falls nicht, wie kann man das dann beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\lim_\limits{v \to 0} [/mm][mm]\frac{l(v)-g(v)}{||v||}=0[/mm].
> Kann man
> hieraus tatsächlich schon folgern, dass [mm]l=g[/mm] gilt?
Ja, kann man.
> Irgendwie nicht, oder?
Doch, doch...
Mit einem Widerspruchsbeweis:
Angenommen [mm] $l\ne [/mm] g$. Dann gibt es ein [mm] $w\in [/mm] W$ mit [mm] $w\ne [/mm] 0$ und ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit
$l(v)-g(v)=w$. Sei [mm] $v_n=\bruch [/mm] 1 n * v$. Dann strebt [mm] $v_n\to [/mm] 0$ und damit nach Voraussetzung auch
[mm] $\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||}\to [/mm] 0$.
Andererseits ist aber wegen [mm] $l(v_n)-g(v_n) [/mm] = (1/n)*w$
[mm] $\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {(1/n)*w} [mm] {(1/n)*||v||}=\bruch [/mm] w {||v||}$,
und dies strebt nicht gegen 0.
Gut?
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Sa 19.11.2011 | | Autor: | T_sleeper |
> > [mm]\lim_\limits{v \to 0} [/mm][mm]\frac{l(v)-g(v)}{||v||}=0[/mm].
> >
> Kann man
> > hieraus tatsächlich schon folgern, dass [mm]l=g[/mm] gilt?
>
> Ja, kann man.
>
> > Irgendwie nicht, oder?
>
> Doch, doch...
>
> Mit einem Widerspruchsbeweis:
>
> Angenommen [mm]l\ne g[/mm]. Dann gibt es ein [mm]w\in W[/mm] mit [mm]w\ne 0[/mm] und
> ein [mm]v\in V[/mm] mit
> [mm]l(v)-g(v)=w[/mm]. Sei [mm]v_n=\bruch 1 n * v[/mm]. Dann strebt [mm]v_n\to 0[/mm]
> und damit nach Voraussetzung auch
>
> [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||}\to 0[/mm].
>
> Andererseits ist aber wegen [mm]l(v_n)-g(v_n) = (1/n)*w[/mm]
>
> [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||} = \bruch {(1/n)*w} {(1/n)*||v||}=\bruch w {||v||}[/mm],
>
> und dies strebt nicht gegen 0.
>
> Gut?
Das was hier vorher stand (Version 1) war natürlich Mist. Der Beweis ist vollkommen ok.
Grüße
Sleeper
>
> Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> > > [mm]\lim_\limits{v \to 0} [/mm][mm]\frac{l(v)-g(v)}{||v||}=0[/mm].
> > >
>
> > Kann man
> > > hieraus tatsächlich schon folgern, dass [mm]l=g[/mm] gilt?
> >
> > Ja, kann man.
> >
> > > Irgendwie nicht, oder?
> >
> > Doch, doch...
> >
> > Mit einem Widerspruchsbeweis:
> >
> > Angenommen [mm]l\ne g[/mm]. Dann gibt es ein [mm]w\in W[/mm] mit [mm]w\ne 0[/mm] und
> > ein [mm]v\in V[/mm] mit
> > [mm]l(v)-g(v)=w[/mm]. Sei [mm]v_n=\bruch 1 n * v[/mm]. Dann strebt
> [mm]v_n\to 0[/mm]
> > und damit nach Voraussetzung auch
> >
> > [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||}\to 0[/mm].
> >
> > Andererseits ist aber wegen [mm]l(v_n)-g(v_n) = (1/n)*w[/mm]
> >
> > [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||} = \bruch {(1/n)*w} {(1/n)*||v||}=\bruch w {||v||}[/mm],
>
> >
> > und dies strebt nicht gegen 0.
> >
> > Gut?
>
> Es ist so nicht ganz ok. Die Folge [mm]\frac{1}{n}v_n[/mm] muss ja
> nicht unbeding in [mm]V[/mm] existieren.
Meinst Du [mm] $\bruch [/mm] 1 n * v$?
Wir setzen hier einen normierten Raum voraus, das heißt der Körper ist [mm] $\IC$ [/mm] oder [mm] $\IR$, [/mm] wie ich in diesem Forum vorgestern gelernt habe. Und dann ist mit $v$ auch [mm] $1/n*v\in [/mm] V$.
Oder ist das falsch?
Ich habe allerdings angenommen, daß die Definitionsmenge beider Funktionen $V$ ist.
Darf ich das nicht?
Verwirrt,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Di 13.12.2011 | | Autor: | T_sleeper |
> > > > [mm]\lim_\limits{v \to 0} [/mm][mm]\frac{l(v)-g(v)}{||v||}=0[/mm].
> >
> > >
> >
> > > Kann man
> > > > hieraus tatsächlich schon folgern, dass [mm]l=g[/mm] gilt?
> > >
> > > Ja, kann man.
> > >
> > > > Irgendwie nicht, oder?
> > >
> > > Doch, doch...
> > >
> > > Mit einem Widerspruchsbeweis:
> > >
> > > Angenommen [mm]l\ne g[/mm]. Dann gibt es ein [mm]w\in W[/mm] mit [mm]w\ne 0[/mm] und
> > > ein [mm]v\in V[/mm] mit
> > > [mm]l(v)-g(v)=w[/mm]. Sei [mm]v_n=\bruch 1 n * v[/mm]. Dann strebt
> > [mm]v_n\to 0[/mm]
> > > und damit nach Voraussetzung auch
> > >
> > > [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||}\to 0[/mm].
> > >
> > > Andererseits ist aber wegen [mm]l(v_n)-g(v_n) = (1/n)*w[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\bruch {l(v_n)-g(v_n)} {||v_n||} = \bruch {(1/n)*w} {(1/n)*||v||}=\bruch w {||v||}[/mm],
>
> >
> > >
> > > und dies strebt nicht gegen 0.
> > >
> > > Gut?
> >
> > Es ist so nicht ganz ok. Die Folge [mm]\frac{1}{n}v_n[/mm] muss ja
> > nicht unbeding in [mm]V[/mm] existieren.
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> Meinst Du [mm]\bruch 1 n * v[/mm]?
>
> Wir setzen hier einen normierten Raum voraus, das heißt
> der Körper ist [mm]\IC[/mm] oder [mm]\IR[/mm], wie ich in diesem Forum
> vorgestern gelernt habe. Und dann ist mit [mm]v[/mm] auch [mm]1/n*v\in V[/mm].
>
> Oder ist das falsch?
Das ist vollkommen richtig.
>
> Ich habe allerdings angenommen, daß die Definitionsmenge
> beider Funktionen [mm]V[/mm] ist.
> Darf ich das nicht?
>
> Verwirrt,
> Wolfgang
>
Du hast Recht. Sorry, dass ich fuer Verwirrung gesorgt habe, mein Einwand war einfach Mist. Vergiss das mal.
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