teilweise geordnete Mengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:58 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass in einer teilweise gerdneten Menge ein kleinstes Element stets auch minimal ist.
Zeigen Sie auch, dass in vollständig geordneten Mengen ein minimales Element stest auch das kleinste ist. |
Definition 1 =
a ist minimal <=> [mm] \exists [/mm] b \ in a mit b [mm] \l [/mm] a
Definition 2 =
a ist kleinstes Element <=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: a [mm] \le [/mm] x
Defintion 3 =
Eine Relation [mm] \le [/mm] heißt vollständige Ordnung auf A, wenn je 2 Elemente von A mit [mm] \le [/mm] vergleichbar sind.
Hier meine Idee, Kommentare sind gerne gesehen 
z.Z. in jeder tw geordneten Menge A ist ein kleinstes Element stets minimal.
Beweis
a ist das kleinste Element aus A
[mm] \gdw(2) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : a [mm] \le [/mm] x
[mm] \Rightarrow [/mm] "es existiert kein"[wie schreibt man das als Formel?] x [mm] \in [/mm] A: x < a
[mm] \gdw(1) [/mm] a ist minimal
q.e.d.
z.Z. in vollständig geordneten Mengen M gilt stets: Ein minimales Element a [mm] \in [/mm] A ist stets kleinstes kleinstes Element von A.
Beweis
In einer vollständigen Ordnung ist nach Def (3) jedes Element x [mm] \in [/mm] A mit jedem anderen "x Schlange" [WIE SCHREIB ICH DAS ALS SYMBOL?] [mm] \in [/mm] A vergleichbar.
Nach Def (1) ist ein Element m [mm] \in [/mm] A dann minimal, wenn es kein x [mm] \in [/mm] A gibt mit x < m.
Folglich sind alle Elemente aus A [mm] \ge [/mm] m ( da es keine unvergleichbaren Elemente gibt).
Damit erfüllt m die Bedingung in Def (2):
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A: m [mm] \le [/mm] a
und somit ist m auch kleinstes Element von A.
q.e.d.
Was meint ihr?
mfG
Ersty
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
