teilweise geordnete Mengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine teilweise geordnete Menge höchstens ein kleinstes Element haben kann |
Hey, wollte einmal wissen, ob mein Beweis als korrekt angesehen werden kann:
z.Z. eine teilweise geordnete Menge kann höchstens ein kleinstes Element haen.
Beweis durch Widerspruch:
Sei A eine teilweise (=tw) geordnete Menge mit kleinstem Element [mm] a_{1}.
[/mm]
Sei [mm] a_{2} [/mm] aus A ein weiteres kleinstes Element.
Dann gilt:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \ge a_{1} [/mm] => [mm] a_{2} \ge a_{1}
[/mm]
sowie
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \ge a_{2} =>a_{1} \ge a_{2}.
[/mm]
Aus der Antisymmetrie von [mm] \ge [/mm] folgt [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}
[/mm]
q.e.d.
Nun der Beweis zeigt, dass es nicht mehr als 1 kleinstes Element gibt, muss ich noch zeigen, dass es 1 gibt?
Definitionen zum nachlesen:
Eine Menge M heißt teilweise geordnet, oder halbgeordnet wenn sie mit einer Relation versehen ist, die den folgenden Eigenschaften genügt:
1. für alle (Reflexivität)
2. Für alle gilt: Aus und folgt x = y (Antisymmetrie)
3. Für alle gilt: Aus und folgt (Transitivität)
Kleinstes Element:
x ist kleinstes Element von M : [mm] \Longleftrightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M: x [mm] \le [/mm] y
das kleinste Element gibt es dann, wenn alle anderen Elemente in der Menge größer sind.
Würde mich sehr über Rückmeldungen freuen. Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß Ersty
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Oder reicht es zu sagen:
In einer tw geordneten Menge steht jedes Element mit [mm] "\le" [/mm] in Verbindung, denn dadurch hat man automatisch ein kleinstes Element. Mein Problem ist nur, wie zeige ich, dass alle Element mit [mm] "\le" [/mm] in Verbindung stehen.
Was meint ih?
Gruß Ersty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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