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hier was zum knobeln:
teile die streke l so in 3 teile, dass deren produkt maximal wird.
ich brauche da dringend hilfe, bitte!!!!!
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 07.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hallo zusammen,
ich habe mir da gestern auch ein paar Gedanken dazu gemacht und frage micht, ob die Lösung nicht ziemlich einfach ist: In 3 gleiche Teile teilen. Meist ist es ja bei solchen Extremwertaufgaben (bei den leichten jedenfalls, die wir in der Schule rechnen) so, dass z.B. im 2D-Bereich ein Quadrat rauskommt, da größte Fläche bei kleinstem Umfang (im Bezug auf 4-Ecke).
Daher würde ich hier einfach mal den Würfel als Lösung vorschlagen, wobei die Kantenlänge 1/3 ist und das Volumen, welches ja dem Produkt der 3 Teile entspricht, [mm] (1/3)^3 [/mm] = 1/27 . ( 3 * 1/3 = 1)
Es wäre nett, wenn du das Ergebnis, so du es denn hat, posten könntest,
Gruß,
mathrix
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Hallo!
Tatsächlich hat mathrix recht: [mm] $\left(\bruch{1}{3},\bruch{1}{3},\bruch{1}{3}\right)$ [/mm] ist die richtige Lösung.
Der Lösungsweg ist der folgende:
Wie bastiane richtig gepostet hat, will man die Funktion $f(x,y,z)=xyz$ maximieren unter den Nebenbedingungen $x+y+z=l$ und [mm] $x,y,z\ge [/mm] 0$. Also kann man $z=l-x-y$ ersetzen.
Man bekommt also das Problem
[mm] $f(x,y)=xy(l-x-y)\to \max$, [/mm] wobei [mm] $x,y\ge [/mm] 0$ und [mm] $x+y\le [/mm] l$.
Um die Extrema dieser Funktion zu finden brauchen wir die partiellen Ableitungen von $f$ nach $x$ und $y$:
[mm] $\bruch{d}{dx}f(x,y)=ly-2xy-y^2$ [/mm] und
[mm] $\bruch{d}{dy}f(x,y)=lx-2xy-x^2$.
[/mm]
Damit ein Extremum vorliegt, müssen beide Ableitungen gleich 0 sein. Das führt uns auf die zwei quadratische Gleichungen, deren Lösungen sind
[mm] $x_1=0$, $x_2(y)=l-2y$, $y_1=0$, $y_2(x)=l-2x$.
[/mm]
Wenn man das kombiniert kommt man auf die vier Lösungen
[mm] $\vektor{x_1 \\ y_1}=\vektor{0\\0}$, $\vektor{x_1 \\ y_2(x_1)}=\vektor{0\\l}$, $\vektor{x_2(y_1) \\ y_1}=\vektor{l\\0}$, $\vektor{x_2(y_2) \\ y_2(x_2)}=\vektor{l/3\\l/3}$.
[/mm]
Auf die letzte Lösung kommt man dabei, indem man das Gleichungssystem
$x=l-2y$, [mm]y=l-2x[/mm] löst.
Aber selbst dann ist man noch nicht wirklich fertig: Wie auch im eindimensionalen muss man die 2.Ableitung betrachten um herauszufinden, was jetzt ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt ist.
Das bedeutet: Du berechnest die 2. Ableitung von f (das ist eine [mm] $2\times{}2$-Matrix) [/mm] und musst zeigen, dass diese an der Stelle (1/3,1/3) negativ-definit ist.
banachella
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