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taylorentwicklung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:35 Do 15.05.2008
Autor: toros

Aufgabe
Es ist das Potential

[mm] U=\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}^N\phi\left(\vec{R}_i-\vec{R}_j+\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)-\vec{u}\left(\vec{R}_j\right)\right) [/mm]

gegeben. Wenn alle [mm] \vec{u}\left(\vec{R}\right) [/mm] klein sind, dann kann man U in eine Taylor-Reihe entwickeln. [mm] \phi [/mm] ist explizit gegeben durch

[mm] \phi\left(\vec{r}\right)=\sum_{i\neq j}^N\left(\frac{1}{\left|\vec{r}\right|^3}-\frac{3\left(z_i-z_j\right)^2}{\left|\vec{r}\right|^5}\right)=\sum_{i\neq j}^N\left(\frac{1}{r^3}-\frac{3\left(z_i-z_j\right)^2}{r^5}\right), [/mm]

wobei [mm] \vec{r}=\vec{R}_i [/mm] - [mm] \vec{R}_j [/mm] und [mm] r=|\vec{r}| [/mm] ist.

Berechnen Sie die zweite und die dritte Ordnung der Taylorentwicklung!

Hallo community,

ich hab mit Hilfe von

[mm] r=\left(\sum_{\kappa}r_{\kappa}^2\right)^{1/2} [/mm]
[mm] \frac{\partial r}{\partial r_{\nu}}=r_{\nu}\left(\sum_{\kappa}r_{\kappa}^2\right)^{-1/2}=\frac{r_{\nu}}{r} [/mm]

die zweite Ordnung der Taylorentwicklung berechnet:

[mm] U_{2.te\text{ }Ordnung}=\frac{1}{4}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\phi_{\mu\nu}\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j\right)\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right], [/mm]

wobei

[mm] \phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right)=\frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_{\mu}\partial r_{\nu}}=3\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[\frac{5r_{\mu}r_{\nu}}{r^7}-\frac{\delta_{\mu\nu}}{r^5}+\frac{5\left(z_i-z_j\right)^2\delta_{\mu\nu}}{r^7}-\frac{35\left(z_i-z_j\right)^2r_{\mu}r_{\nu}}{r^9}\right] [/mm]

ist.

Kann mir bitte einer einen Tipp geben, wie man die dritte Ordnung berechnet??

UPDATE:

Ich hab die dritte Ordnung berechnet:

[mm] U_{3.te\text{ }Ordnung}=\frac{5}{4}\sum_{\substack{i\neq j}}^{N}\left[\frac{3\vec{r}}{r^7}-\frac{7\vec{r}^3}{r^9}-7\left(z_i-z_j\right)^2\left(\frac{3\vec{r}}{r^9}-\frac{9\vec{r}^3}{r^{11}}\right)\right]\left[\vec{u}\left(\vec{R}_i\right)-\vec{u}\left(\vec{R}_j\right)\right]^3 [/mm]

Kann mir einer bitte sagen, ob meine Berechnung richtig ist?

Danke!
Gruss toros

        
Bezug
taylorentwicklung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 17.05.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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