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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:49 Mi 28.05.2008 | | Autor: | puldi |
Guten Mprgen,
[mm] \operatorname{tanh}x [/mm] = [mm] \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)} [/mm]
Kann mir das jemand erklären? Ich verstehe nur tanh = und dann diesen ersten einsetzschritt, aber dann weiß ich nicht mehr weiter...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen puldi!
Schreiben wir uns diese diversen Gleichheiten in anderer Reihenfolge auf ...
Gemäß Definition gilt:
[mm] $$\tanh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$
[/mm]
Setzen wir nun die Definitionen für [mm] $\blue{\sinh(x)}$ [/mm] bzw. [mm] $\red{\cosh(x)}$ [/mm] ein. Anschließend kann man den Doppelbruch mit $2_$ erweitern und erhält den nächsten genannten Term:
$$... \ = \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{e^x-e^{-x}}{2}}}{\red{\bruch{e^x+e^{-x}}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$
[/mm]
Durch Erweitern mit [mm] $e^x$ [/mm] und der Anwendung der  Potenzgesetze mit [mm] $e^x*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}$ [/mm] bzw. [mm] $e^{-x}*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$ ergibt sich:
$$... \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
[/mm]
Und den letzten Term erhalten wir, indem wir den Zähler etwas umschreiben:
$$... \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}+1-1-1}{e^{2x}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}+1-2}{e^{2x}+1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Mi 28.05.2008 | | Autor: | puldi |
hallo,
danke. nur warum steht da beidesmal [mm] e^x [/mm] - e^-x
Muss da nicht einmal ein + hin?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo puldi!
Das war ein Tippfehler meinerseits (entstanden durch Copy & Paste) ... ist aber inzwischen korrigiert.
Gruß
Loddar
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