tangentialer Vektor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich verstehe die Defintion eines tangentialen Vektors nicht.
Hier meine Defintion:
Sei $X [mm] \subset \IR^n$ [/mm] eine nichtleere Menge. Dann heißt ein Vektor $d [mm] \in \IR^n$ [/mm] tangential zu X im Punkt $x [mm] \in [/mm] X$, wenn Folgen [mm] $\{ x^k \} \subset [/mm] X$ und [mm] $\{ t_k \} \subset \IR$ [/mm] existieren mit [mm] $x^k \to [/mm] x$, [mm] $t_k \downarrow [/mm] 0$ und [mm] $\bruch{x^k-x}{t_k} \to [/mm] d$ für [mm] k\to\infty.
[/mm]
Also ich weiß, dass tangential damit zu tun hat, dass sich zwei Objekte in nur einem Punkt berühren (nicht schneiden).
Aber ich kann aus dieser Defintion nichts dieser Art ablesen.
Generell verstehe ich nicht so ganz, was das definierte Objekt sein soll.
Also [mm] $x^k \to [/mm] x$ sagt mir, dass für [mm] k\to\infty [/mm] die Folge den Wert x annimmt (das dürfte dann ja der Punkt aus x sein, der von d tangential berührt wird).
Und die Folge [mm] t_k [/mm] stebt von oben gegen 0.
Und [mm] $\bruch{x^k-x}{t_k}$, [/mm] hmm, sowohl Zähler und Nenner gehen ja dann gegen 0, wenn der Nenner nun noch sehr viel kleiner ist als der Zähler, dann wird der Bruch sehr groß, ansonsten wird er sehr klein.
Hmm, also irgendwie kann ich damit nix anfangen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ich denke mal, du weisst nicht, was eine Mannigfaltigkeit ist?
Also die Definition, welche ihr habt, ist vergleichbar mit der aus dem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel über die Kurven (es werden da ja drei Definitionen gegeben - ich meine die erste davon).
> Generell verstehe ich nicht so ganz, was das definierte
> Objekt sein soll.
Ein Vektor. Nämlich einer, der zu der Mengen tangential ist. Stelle dir einfach die Einheitskugel im [mm] \IR^3 [/mm] vor. An jedem Punkt davon hast du den Tangentialraum - das ist die Menge aller Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] die tangential an die Einheitskugel in diesem Punkt sind. Das ganze bildet eine zwei-dimensionale Fläche (so wie die Tangenten an einer Kurve eine ein-dimensionale Fläche bilden).
Wenn du dir das bildlich vorstellen kannst, dann wird es leichter mit dem Verstehen der von dir angeführten Definition.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Merle!
Danke für deine Antwort!
Ich brauche die Definition von einem tangentialen Vektor und einem Tangentialkegel für einen Seminarvortrag in Numerischer Optimierung.
> Ich denke mal, du weisst nicht, was eine Mannigfaltigkeit
> ist?
Nein, weiß ich nicht.
Ich hab mir jetzt mal den Wikipedia-Artikel dazu durchgelesen, aber irgendwie hilft der mir nicht weiter.
> Also die Definition, welche ihr habt, ist vergleichbar mit
> der aus dem Wikipedia-Artikel
> über die Kurven (es werden da ja drei Definitionen gegeben
> - ich meine die erste davon).
Du meinst die geometrische Defintion?
Oh man, da versteh ich ja noch viel weniger...
Ich habe mir sie seit gestern abend mehrmals durchgelesen, aber ich verstehe nur Bahnhof.
> > Generell verstehe ich nicht so ganz, was das definierte
> > Objekt sein soll.
>
> Ein Vektor. Nämlich einer, der zu der Mengen tangential
> ist. Stelle dir einfach die Einheitskugel im [mm]\IR^3[/mm] vor. An
> jedem Punkt davon hast du den Tangentialraum - das ist die
> Menge aller Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm] die tangential an die
> Einheitskugel in diesem Punkt sind. Das ganze bildet eine
> zwei-dimensionale Fläche (so wie die Tangenten an einer
> Kurve eine ein-dimensionale Fläche bilden).
>
> Wenn du dir das bildlich vorstellen kannst, dann wird es
> leichter mit dem Verstehen der von dir angeführten
> Definition.
Ja, das kann ich mir vorstellen.
Was ich bei meiner Defintion überhaupt nicht verstehe, ist, was mir der Bruch [mm] $\bruch{x^k-x}{t_k} \to [/mm] d$ sagen soll.
Für [mm] k\to\infty [/mm] streben sowohl Zähler und Nenner gegen 0.
Und dann?
Wo kann ich an meiner Defintion eigentlich ablesen, dass der Punkt x, zu dem d ja tangential ist, am Rand der Menge X liegt (das muss doch so sein, sonst könnte er nicht tangential gerührt werden, oder?)?
Und woran erkenne ich, dass d daran tangential verläuft?
Ist tangentialer Vektor eigentlich das gleiche wie Tangentialvektor und Tangentialkegel das gleiche wie Tangentialraum?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Was ich bei meiner Definition überhaupt nicht verstehe,
> ist, was mir der Bruch [mm]\bruch{x^k-x}{t_k} \to d[/mm] sagen
> soll.
> Für [mm]k\to\infty[/mm] streben sowohl Zähler und Nenner gegen 0.
.... aber der Wert des Bruches nicht unbedingt !
Und dies ist zentral: wichtig ist nur, dass ein solcher
Grenzwert (-Vektor) überhaupt existiert. Dieser defi-
niert dann (falls d nicht der Nullvektor ist) eine Richtung,
die tangential zur Menge X in deren Punkt x ist.
> Wo kann ich an meiner Defintion eigentlich ablesen, dass
> der Punkt x, zu dem d ja tangential ist, am Rand der Menge
> X liegt (das muss doch so sein, sonst könnte er nicht
> tangential gerührt werden, oder?)
(gerührt ??)
Da verstehst du etwas nicht ganz richtig. x muss nicht am
Rand, sondern einfach in der Menge x liegen.
Bei Merles Beispiel mit der Einheitskugel solltest du
dir diese nicht als Vollkugel, sondern als Kugelfläche
vorstellen.
> Und woran erkenne ich, dass d daran tangential verläuft?
Du kannst dir vorstellen, dass die Punkte [mm] x^k, [/mm] welche in
der Festlegung von d als Grenzwert dienten, längs einer
in X liegenden Kurve angeordnet sind, welche zum Punkt x
führt. d ist dann der Tangentialvektor dieser Kurve im
Punkt X.
> Ist tangentialer Vektor eigentlich das gleiche wie
> Tangentialvektor
Ja.
> und Tangentialkegel das gleiche wie Tangentialraum?
Man kann es so sagen: ein (linearer) Tangentialraum
ist ein Spezialfall eines "Tangentialkegels". Beispiel:
Eine Kreiskegelfläche K im [mm] \IR^3 [/mm] hat in der Kegelspitze S
zwar Tangentialvektoren im Sinne dieser Definition.
Diese Tangentialvektoren zeigen von der Spitze weg
in die Richtungen aller möglichen Mantellinien.
Zusammen bilden sie den Tangentialkegel in S.
In S hat aber K keine Tangentialebene.
Betrachten wir aber nicht die Spitze S der Kegel-
fläche K, sondern einen beliebigen anderen Punkt [mm] P\in [/mm] K,
so ist der dort gebildete "Tangentialkegel" identisch
mit der dortigen Tangentialebene.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
Danke für deine Antwort.
> .... aber der Wert des Bruches nicht unbedingt !
> Und dies ist zentral: wichtig ist nur, dass ein solcher
> Grenzwert (-Vektor) überhaupt existiert. Dieser defi-
> niert dann (falls d nicht der Nullvektor ist) eine
> Richtung,
> die tangential zur Menge X in deren Punkt x ist.
Ja, der Wert des Bruches ist entweder sehr nah an 0 dran (wenn der Zähler größer ist als der Nenner) oder aber sehr groß (wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner).
Und der Vektor, den ich dann als Grenzwert erhalte, in die Richtung zeigt d?
> Da verstehst du etwas nicht ganz richtig. x muss nicht am
> Rand, sondern einfach in der Menge x liegen.
> Bei Merles Beispiel mit der Einheitskugel solltest du
> dir diese nicht als Vollkugel, sondern als Kugelfläche
> vorstellen.
Achso, es gibt also quasi kein "Inneres"?
Quasi ein Teppich, der eine Kugel formt?
> > Und woran erkenne ich, dass d daran tangential verläuft?
>
> Du kannst dir vorstellen, dass die Punkte [mm]x^k,[/mm] welche in
> der Festlegung von d als Grenzwert dienten, längs einer
> in X liegenden Kurve angeordnet sind, welche zum Punkt x
> führt. d ist dann der Tangentialvektor dieser Kurve im
> Punkt X.
Hmm...
Das versteh ich noch nicht.
Die [mm] x^k [/mm] laufen auf das x zu, ok.
Aber ich kann aus dieser Defintion immer noch nichts ablesen, was mir sagt, dass d zu x tangential ist.
Bedeutet denn "d ist tangential zu x" überhaupt, dass der Vektor d den Punkt x berührt?
Oder heißt das irgendwas anderes?
> > und Tangentialkegel das gleiche wie Tangentialraum?
>
> Man kann es so sagen: ein (linearer) Tangentialraum
> ist ein Spezialfall eines "Tangentialkegels". Beispiel:
> Eine Kreiskegelfläche K im [mm]\IR^3[/mm] hat in der Kegelspitze
> S
> zwar Tangentialvektoren im Sinne dieser Definition.
> Diese Tangentialvektoren zeigen von der Spitze weg
> in die Richtungen aller möglichen Mantellinien.
> Zusammen bilden sie den Tangentialkegel in S.
> In S hat aber K keine Tangentialebene.
> Betrachten wir aber nicht die Spitze S der Kegel-
> fläche K, sondern einen beliebigen anderen Punkt [mm]P\in[/mm] K,
> so ist der dort gebildete "Tangentialkegel" identisch
> mit der dortigen Tangentialebene.
Danke für das Beispiel.
Ich kann ihm im Moment aber noch nicht folgen.
Ich werde es mir nochmal ansehen, wenn ich verstanden haben, was Tangentialvektoren überhaupt sind.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
hast du meinen post gelesen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
> Hallo nadine
> hast du meinen post gelesen?
> Gruss leduart
Hallo Leduart!
Ja, habe ich.
Dazu habe ich auch Fragen.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ich denke, am besten nehmen wir nun mal ein
ganz konkretes Beispiel. Da ich nur ungerne alles
mögliche mit X , x , [mm] x_i [/mm] , [mm] x^k [/mm] bezeichne, benütze ich
andere Buchstaben, was der Verständlichkeit eher
zuträglich sein dürfte.
Gegeben sei die Menge [mm] $M=\{(x/y/z)\ |\ x^2+y^2+z^2=25\}$
[/mm]
und auf ihr der Punkt P(3/0/4). M ist die Kugel-
fläche mit Kugelradius O(0/0/0) und Radius r=5.
Nun nähern wir uns dem Punkt P auf zwei ver-
schiedene Arten an, indem wir quasi auf der
Kugeloberfläche wandern.
1. Wanderung:
Wir setzen
[mm] t_k:=\frac{1}{k}
[/mm]
[mm] x_k:=3-t_k=3+\frac{1}{k}
[/mm]
[mm] y_k:=0
[/mm]
[mm] z_k:=\sqrt{25-x_k^2}=\sqrt{16-\frac{6}{k}-\frac{1}{k^2}}
[/mm]
Die Punkte [mm] P_k(x_k/y_k/z_k) [/mm] mit [mm] k\in\IN [/mm] liegen alle auf
der Kugelfläche M, genauer: auf deren "Meri-
diankreis" in der x-z-Ebene. Die Punktfolge
[mm] \left\langle P_k \right\rangle_{k\in\IN} [/mm] strebt gegen den Grenzpunkt P.
Betrachten wir nun (analog zum Term $ [mm] \bruch{x^k-x}{t_k}$ [/mm]
aus der Aufgabenstellung) den Term
$ [mm] \bruch{P_k-P}{t_k}$
[/mm]
Durch Einsetzen ergibt sich
$ [mm] \bruch{P_k-P}{t_k}=\bruch{(x_k/y_k/z_k)-P(3/0/4)}{\bruch{1}{k}}=\bruch{\left(\,\bruch{1}{k}\,/\,0\,\,/\,\sqrt{16-\frac{6}{k}-\frac{1}{k^2}}-4\,\right)}{\bruch{1}{k}}$
[/mm]
Hier müsste man nun den Grenzwert berechnen.
Das Ergebnis ist:
[mm] $\left(1\,/\,0\,/\,- \bruch{3}{4}\right)$
[/mm]
und die Bedeutung: dies ist ein Tangentialvektor
an die Menge M im Punkt P, nämlich einer, der
in Richtung des durch diesen Punkt verlaufenden
Meridiankreises in Richtung "Süden" zeigt.
2. Wanderung:
Wir setzen
[mm] t_k:=\frac{1}{k}
[/mm]
[mm] x_k:=3*cos(t_k)
[/mm]
[mm] y_k:=3*sin(t_k)
[/mm]
[mm] z_k:=4
[/mm]
Die dieser Folge entsprechenden Punkte liegen
ebenfalls in M und nähern sich dem Punkt P
entlang des Breitenkreises, der in der Ebene z=4
liegt.
Durch analoge Rechnung wie im ersten Beispiel
erhielte man nun einen Tangentialvektor, der
von P aus in Richtung des Breitenkreises nach
"Osten" weist.
Nu gäbe es natürlich (unendlich) viele weitere
Wege, denen entlang man sich auf der Kugelober-
fläche wandernd dem Punkt P nähern könnte.
Jeder solche Weg liefert (falls der Grenzwert tat-
sächlich existiert) am Punkt P einen Tangential-
vektor.
LG Al-Chw.
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> Hallo zusammen!
>
> Ich verstehe die Defintion eines tangentialen Vektors
> nicht.
Es heisst nicht Defintion, sondern Definition.
> Hier meine Defintion:
>
> Sei [mm]X \subset \IR^n[/mm] eine nichtleere Menge. Dann heißt ein
> Vektor [mm]d \in \IR^n[/mm] tangential zu X im Punkt [mm]x \in X[/mm], wenn
> Folgen [mm]\{ x^k \} \subset X[/mm] und [mm]\{ t_k \} \subset \IR[/mm]
> existieren mit [mm]x^k \to x[/mm], [mm]t_k \downarrow 0[/mm] und
> [mm]\bruch{x^k-x}{t_k} \to d[/mm] für [mm]k\to\infty.[/mm]
>
> Also ich weiß, dass tangential damit zu tun hat, dass
> sich zwei Objekte in nur einem Punkt berühren (nicht
> schneiden).
Dies ist keine geeignete (und auch keine allgemein
richtige) Definition ! Zum Beispiel hat die Sinuskurve
Tangenten mit unendlich vielen Berührpunkten und
auch solche mit einem oder zwei Berührungs- und
dazu noch mehreren weiteren Schnittpunkten.
Das Wesentliche an einer Tangente (an eine Kurve)
ist, dass sie diese lokal linear approximiert, und
zwar besser als z.B. jede Parabel (Kurve 2. Ordnung).
> Generell verstehe ich nicht so ganz, was das definierte
> Objekt sein soll.
>
> Also [mm]x^k \to x[/mm] sagt mir, dass für [mm]k\to\infty[/mm] die Folge den
> Wert x annimmt (das dürfte dann ja der Punkt aus x sein,
> der von d tangential berührt wird).
>
> Und die Folge [mm]t_k[/mm] stebt von oben gegen 0.
>
> Und [mm]\bruch{x^k-x}{t_k}[/mm], hmm, sowohl Zähler und Nenner
> gehen ja dann gegen 0, wenn der Nenner nun noch sehr viel
> kleiner ist als der Zähler, dann wird der Bruch sehr
> groß, ansonsten wird er sehr klein.
Wichtig ist aber hier der Fall, wo es tatsächlich einen
(endlichen) Grenzwert d gibt, denn dies wird in der
Definition ja vorausgesetzt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Es heisst nicht Defintion, sondern Definition.
Ups *rotwerd*
Ich les eigentlich immer nochmal drüber, aber das muss ich übersehen haben.
> Dies ist keine geeignete (und auch keine allgemein
> richtige) Definition !
Oh, na toll....
Auf dieser Defintion baut mein kompletter Vortrag auf...
Ich denke mal, dass ich die auch so übernehmen muss.
Vielleicht könnten wir die Defintion nochmal Stück für Stück zusammen durchgehen?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie ist für dich die Definition der Tangente an eine Kurve im [mm] \IR^3, [/mm] wenn du die kennst ist die Def im [mm] \IR^n [/mm] nicht komplizierter. und die Kurve ist auch ein X aus [mm] \IR^3
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Wie ist für dich die Definition der Tangente an eine
> Kurve im [mm]\IR^3,[/mm] wenn du die kennst ist die Def im [mm]\IR^n[/mm]
> nicht komplizierter. und die Kurve ist auch ein X aus
> [mm]\IR^3[/mm]
Das ist eine gute Frage...
Ich kenne keine.
Ich habe auch nochmal meine ganzen Analysis-Unterlagen durchgeschaut, dort aber nicht wirklich was gefunden.
Deshalb führe ich alles nur auf eine Tangente im [mm] \IR^2 [/mm] zurück.
Könntest du mir eine Defintion geben?
LG, Nadine
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> Hallo!
>
>
>
> > Es heisst nicht Defintion, sondern Definition.
>
> Ups *rotwerd*
>
> Ich les eigentlich immer nochmal drüber, aber das muss ich
> übersehen haben.
>
>
>
> > Dies ist keine geeignete (und auch keine allgemein
> > richtige) Definition !
>
> Oh, na toll....
>
> Auf dieser Defintion baut mein kompletter Vortrag auf...
>
> Ich denke mal, dass ich die auch so übernehmen muss.
>
> Vielleicht könnten wir die Defintion nochmal Stück für
> Stück zusammen durchgehen?
>
>
>
> LG, Nadine
Da hast du jetzt aber wohl etwas missverstanden. Mit meiner
Bemerkung
"Dies ist keine geeignete (und auch keine allgemein
richtige) Definition"
meinte ich nicht die Definition des Tangentialvektors, um
welche es in der Aufgabe geht, sondern nur um deine
Interpretation des Begriffs "tangential" durch die Eigen-
schaft einer Tangente, eine Kurve nur in einem Punkt zu
berühren (die zwar im Beispiel einer Tangente an einen
Kreis in der Ebene gilt, aber nicht verallgemeinerungsfähig
ist).
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Heute scheint es mit dem Wort Definition einfach nicht klappen zu wollen 
> Da hast du jetzt aber wohl etwas missverstanden. Mit
> meiner
> Bemerkung
> "Dies ist keine geeignete (und auch keine allgemein
> richtige) Definition"
> meinte ich nicht die Definition des Tangentialvektors, um
> welche es in der Aufgabe geht, sondern nur um deine
> Interpretation des Begriffs "tangential" durch die Eigen-
> schaft einer Tangente, eine Kurve nur in einem Punkt zu
> berühren (die zwar im Beispiel einer Tangente an einen
> Kreis in der Ebene gilt, aber nicht
> verallgemeinerungsfähig
> ist).
Ah, ok!
Ich weiß leider nicht, was der Begriff "tangential" im Raum bedeutet.
Ich kenne ihn nur von Tangenten im [mm] \IR^2.
[/mm]
Ich hab auch nochmal meine ganzen Analysis-Unterlagen durchgesehen, dort aber nichts gefunden.
Könntest du mir erklären, was ich unter "tangential" allgemein verstehen muss?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dien Menge eine Kurve im [mm] \IR^2 [/mm] ist, ist deine Anschauung für die Tangente richtig. wenn du jetz aber diesen Begriff mit Grenzwert verallgemeinerst, hat natüerlich auch ne Gerade einen (bzw 2) Tangentialvektor in jedem Punkt. und narürlich wird sie nicht nur in einem Punkt davon berührt.
ein Kreis als Kurve hat die üblichen Tangentenvektoren. Ein Vollkreis bzw Kreisscheibe als Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] hat in einem Randpunkt aber nach Definition einen Halbraum als Tangentialraum, ein innerer Punkt den ganzen Raum (aehnlich wie die Gerade im [mm] \IR^1.
[/mm]
Die definition die du hast ist sehr abstrakt: die bessere ist: Tangentialraum (nicht unbedingt ein VR) ist die Menge aller Tangentialvektoren an alle möglichen Kurven, die durch den Punkt gegen.
Durch einen inneren Punkt der Vollkugel [mm] im\IR^3 [/mm] gehen Kurven in allen Richtungen, also hast du Tangenten in jede Richtung, an einem Randpunkt gehen nur kurven nach innen los bzw auf dem Rand, du hast also einen Halbraum, keinen VR.
Das tangential musst du dir also mehr so vorstellen wie bei ner Geraden (Vollraum, bzw. Strahl von einem Punkt aus. Halbraum.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 29.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Danke für deine Antwort!
> Wenn dien Menge eine Kurve im [mm]\IR^2[/mm] ist, ist deine
> Anschauung für die Tangente richtig.
OK.
> wenn du jetz aber
> diesen Begriff mit Grenzwert verallgemeinerst, hat
> natüerlich auch ne Gerade einen (bzw 2) Tangentialvektor
> in jedem Punkt. und narürlich wird sie nicht nur in einem
> Punkt davon berührt.
Das kann ich schon nicht mehr nachvollziehen.
Ok, wenn die Tangente an dem Punkt in zwei Halbgeraden teile, quasi mit genau entgegen gesetzen Richtungen, dann hab ich zwei Tangentenvektoren.
Aber ich sehe da absolut keinen Zusammenhang zu der Geschichte mit dem Grenzwert!
(Sind Tangentialvektoren, Vektoren, die den Punkt berühren, wobei der Punkt aber auch gleichzeitig Startpunkt des Vektors ist, ich hab also quasi ne Halbgerade mit richtungsangabe?)
> ein Kreis als Kurve hat die üblichen Tangentenvektoren.
Zunächst: Ist ein Tangentenvektor das gleiche wie ein Tangentialvektor?
Was sind die üblichen Tangentenvektoren?
> Ein Vollkreis bzw Kreisscheibe als Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] hat
> in einem Randpunkt aber nach Definition einen Halbraum als
> Tangentialraum, ein innerer Punkt den ganzen Raum (aehnlich
> wie die Gerade im [mm]\IR^1.[/mm]
Das verstehe ich nicht.
> Die definition die du hast ist sehr abstrakt: die bessere
> ist: Tangentialraum (nicht unbedingt ein VR) ist die Menge
> aller Tangentialvektoren an alle möglichen Kurven, die
> durch den Punkt gegen.
Hmm, irgendwie... ich verstehs nicht so recht.
Wenn ich irgendwie alle Kurven nehme, die durch einen gegebenen Punkt verlaufen, und dann zu jeder Kurve in dem Punkt die Tangente bilde (ich teil sie wieder in zwei Richtungen, damit ich zwei Vektoren habe), zeigt dann in jede Richtung des Raumes ein Vektor?
(Rein bildlich vorgestellt, müsste ich dann im [mm] \IR^3 [/mm] als Tangentialraum eine Kugel bekommen?)
> Durch einen inneren Punkt der Vollkugel [mm]im\IR^3[/mm] gehen
> Kurven in allen Richtungen, also hast du Tangenten in jede
> Richtung, an einem Randpunkt gehen nur kurven nach innen
> los bzw auf dem Rand, du hast also einen Halbraum, keinen
> VR.
> Das tangential musst du dir also mehr so vorstellen wie
> bei ner Geraden (Vollraum, bzw. Strahl von einem Punkt aus.
> Halbraum.
Ehrlich gesagt versteh ich hier grade nichts mehr :-(
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ne Kurve im [mm] \IR^3 [/mm] hast [mm] C(t)=\vektor{x1(t) \\ x2(t)\\x3(t)} [/mm] und einen Punkt [mm] C(t_0) [/mm] dann ist der Tangentenvektor=Tangentialvektor C'(t) ( ' für Ableitung nach t)
[mm] C'(t_0)=\vektor{x1'(t_0) \\ x2(t_0)'\\x3(t_0)'}
[/mm]
und dass die [mm] x_i'(t0)=lim(x_i(t_0+h)-x_i(t_0))/h [/mm] im allgemeinen nen GW haben ist dir aus analysis bekannt.
Wenn man C in der Gegenrichtung durchläuft, dreht sich die Richtung des Vektors um. Die Richtung des Vektors hängt nur von der Kurve ab, sein Betrag ist verschieden, wenn man die Parametrisiereung ändert. deshalb interressiert nur die Richtung.
Wenn jetzt C ne Gerade ist, ist die Definition noch immer dieselbe, auch wenn man im täglichen Leben dann nicht mehr von Tangente spricht.( Mathematisch ist Tangente auch besser durch "beste lineare Approximation" beschrieben.)
dann ist aber für alle Punkte der Geraden C' der Richtungsvektor der Geraden.
so wie bei den Kurven als Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] kann man jetz allgemein alle Vektoren, die an Kurven durch einen Punkt gehen Tangentialvektoren nennen.
in deiner Def. laufen also die [mm] x_k [/mm] auf den Kurven durch den Punkt x (Wenn sie nicht auf Kurven durch x laufen, können sie nicht gegen x konvergieren. deine [mm] t_k [/mm] stellst du dir als mne Folge von [mm] h_k [/mm] aus der Def. der Ableitung oben vor.
du hast also den Tangentialraum zu einem Punkt des [mm] \IR^3 [/mm] wenn du die Menge aller Tangentialvektoren an Kurven durch x hast. (im [mm] \IR^3 [/mm] reichen dazu natürlich max. 3lin unabh. um den Raum zu beschreiben.
jetzt noch mal zu der Sphäre= Kugeloberfläche und der Vollkugel.
Dass alle Kurven auf der Sphäre, die durch einen Punkt gehen, tangenten in der Tangentialebene haben ist anschaulich klar , die [mm] (x-x_k)/tk [/mm] sind Sehnen, ihr GW Tangenten.
Anders bei der Vollkugel: durch einen Punkt auf dem Rand gehen natürlich alle Kurven, die auch auf der Späre sind, also gehört die Tangentialebene dazu, aber es laufen auch in alle Richtungen nach innen Kurven von x weg. d.h. man hat Definitionsgemaess - nicht anschaulich- jetzt Tangentialvektoren die Richtung Inneres der Kugel gehen, also einen ganzen Halbraum.
durch einen inneren Punkt der Vollkugel hehen Kurven in alle Richtungen, insgesamt hat man also den ganzen [mm] R^3 [/mm] ( mit Kugel hättest du recht, wenn sie alle gleich lang waeren)
du schreibst:
(Rein bildlich vorgestellt, müsste ich dann im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ als Tangentialraum eine Kugel bekommen?)
nicht im [mm] \IR^3 [/mm] sondern in einer Teilmenge des [mm] R^3, [/mm] die auch innere Punkte hat und nur in diesen wie eben in einer Vollkugel, oder ähnlichen.
Du darfst wirklich nicht an dem "Schulbegriff" Tangente hier hängen bleiben.und anschaulich ists natürlich im [mm] R^n [/mm] nicht mehr, auch ich kann mir ne Kurve im [mm] R^5 [/mm] nicht vorstellen, aber mit [mm] C(t)=\vektor{x1(t) \\ x2(t)\\x3(t)\\x4(t)\\x5(t)} [/mm] in Gedanken arbeiten.
Gruss leduart
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