tangens/ Gleichung zeigen. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 11.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kann man die Gleichheit von [mm] \bruch{-2}{1+tan(\bruch{x}{2})}+C=tan( \bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})+D [/mm] zeigen bw. widerlegen ?
C und D sind Konstanten. Linke Seite und rechte Seite sind zwei Stammfunktionen.
Da sind bestimmt geschickte Umformungen gefragt, die ich nicht so gut beherrsche.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wie kann man die Gleichheit von
> [mm]\bruch{-2}{1+tan(\bruch{x}{2})}=tan( \bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})[/mm]
> zeigen bw. widerlegen ?
Für x = [mm] \pi/2 [/mm] stimmt die Gleichung nicht
FRED
>
> Da sind bestimmt geschickte Umformungen gefragt, die ich
> nicht so gut beherrsche.
>
> Gruss
> Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Di 11.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo FRED,
sorry es fehlen noch Konstanten , linke Seite C, rechte Seite D.
Das waren zwei Stammfunktionen(ich bearbeite das im Original)
Gruss
Igor
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Das kannst Du trotzdem nicht zeigen, da ist entweder links ein Minuszeichen zuviel oder rechts eins zuwenig.
Zeigen kannst Du m.E. folgendes:
[mm] \bruch{-2}{1+tan(\bruch{x}{2})}+C [/mm] = [mm] -tan(\bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})+D
[/mm]
Natürlich brauchst Du keine zwei Konstanten, außerdem wirst Du herausfinden, dass C-D=1 gilt.
Ansonsten brauchst Du die
![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme und mehr als ein bisschen Geduld. Außer den hier verlinkten gibt es noch mehr, google mal ein bisschen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 11.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
Warum brauche ich diese zwei Konstanten nicht?
Die kommen doch von den Stammfunktionen, die müßen da stehen.
Dass links ein minus-Zeichen steht und rechts nicht, ist ein bisschen merkwürdig, aber trotzdem warum kann die Gleichung nicht erfüllt sein?
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Wenn Du links eine Konstante "C" hast, und rechts eine Konstante "D", dann fasst Du die üblicherweise zusammen, so dass nur noch eine Konstante dasteht, entweder auf der linken Gleichungsseite E(=C-D) oder auf der rechten Gleichungsseite F(=D-C). Den Wert habe ich Dir schon mitgeteilt.
Deine ursprüngliche Gleichung sieht durchaus möglich aus, mir scheint sie nur falsch zu sein. Rechne doch mal für ein paar Werte von x nach. Beim ersten Wert bestimmst Du aus dem Unterschied der Funktionswerte die (vorläufig angebliche) konstante Differenz der beiden Seiten. Die müsste ja dann immer gleich bleiben. Ab dann müssen die Funktionswerte (um die Konstante korrigiert) ja gleich sein. Dann siehst Du bestimmt, was ich meine.
Manchmal ist es übrigens einfacher, durch geschickte Integration die Terme schon etwas vergleichbarer zu gestalten. Was war den die ursprüngliche Aufgabe?
Und schließlich: es heißt, nach alter und neuer Rechtschreibung müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 11.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
die ursprüngliche Aufgabe war:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+sinx} dx} [/mm] mit Substitution zu lösen.
Ich habe nach dem Standard-Verfahren für solchen Typ von Integralen
[mm] tan\bruch{x}{2}=t [/mm] substituiert.
sinx= [mm] \bruch{2t}{1+t^{2}} [/mm] ( das wurde bewiesen)
und die Ableitung von 2arctan t ist [mm] \bruch{2}{1+t^{2}}
[/mm]
Am Ende kam die linke Seite der Gleichung(siehe ersten Beitrag) als Integral und die rechte Seite war die eigentliche Stammfunktion aus der Formelsammlung.
Ich wollte dann prüfen , ob die beiden Stammfunktion vielleicht dann doch übereinstimmen (oder ich habe mich verrechnet).
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Hi, Igor,
> die ursprüngliche Aufgabe war:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+sinx} dx}[/mm] mit Substitution zu
> lösen.
> Ich habe nach dem Standard-Verfahren für solchen Typ von
> Integralen
> [mm]tan\bruch{x}{2}=t[/mm] substituiert.
> sinx= [mm]\bruch{2t}{1+t^{2}}[/mm] ( das wurde bewiesen)
> und die Ableitung von 2arctan t ist [mm]\bruch{2}{1+t^{2}}[/mm]
>
> Am Ende kam die linke Seite der Gleichung (siehe ersten
> Beitrag) als Integral und die rechte Seite war die
> eigentliche Stammfunktion aus der Formelsammlung.
> Ich wollte dann prüfen , ob die beiden Stammfunktion
> vielleicht dann doch übereinstimmen (oder ich habe mich
> verrechnet).
Du hast Dich nicht verrechnet! Sie stimmen überein!
Übrigens ist es meist leichter, die Gleichheit der Stammfunktionen nicht direkt zu beweisen, sondern
a) zu zeigen, dass sie dieselbe Ableitung haben
und
b) dass sie für ein beliebiges x aus der Definitionsmenge übereinstimmen.
Denn es gilt der Satz:
Zwei differenzierbare Funktionen, die in einem Intervall dieselbe Ableitung haben, können sich in diesem Intervall nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Di 11.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Zwerglein !
Gute Nachricht ! 
Ich habe noch eine Frage zu Deiner Erklärung:
zu a) : das konnte ich soweit nachvollziehen.
Was meinst Du mit b) ? (was stimmt überein ? die Ableitungen oder die Funktionen selbst?). Ob die zwei Funktionen für jedes x aus dem Definitionsbereich übereinstimmen, ist dasselbe wie prüfen, ob die Gleichung stimmt. (oder?)
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 12.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Igor
> Hallo Zwerglein !
>
> Gute Nachricht !
>
> Ich habe noch eine Frage zu Deiner Erklärung:
> zu a) : das konnte ich soweit nachvollziehen.
> Was meinst Du mit b) ? (was stimmt überein ? die
> Ableitungen oder die Funktionen selbst?). Ob die zwei
> Funktionen für jedes x aus dem Definitionsbereich
> übereinstimmen, ist dasselbe wie prüfen, ob die Gleichung
> stimmt. (oder?)
Wenn zwei Funktionen [mm] F_{1}(x) [/mm] ung [mm] F_{2}(x) [/mm] Stammfunktionen einer Funktion f(x) sein sollen, muss gelten: [mm] F_{1}'(x)=F_{2}'(x)
[/mm]
Und (das ist mit b) gemeint) es muss ein x (such dir eins aus...) aus der Defintionsmenge geben, so dass [mm] F_{1}(x)=F_{2}(x)
[/mm]
>
> Gruss
> Igor
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hat ein bisschen gedauert, meinen Eingabefehler zu finden, aber es gab einen. Zwerglein hat Recht, die Stammfunktionen sind identisch, nur um den konstanten Wert 1 (=C-D, wie angegeben) gegeneinander verschoben.
Entschuldigung.
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> Hallo,
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> wie kann man die Gleichheit von
> [mm]\bruch{-2}{1+tan(\bruch{x}{2})}+C=tan( \bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})+D[/mm]
> zeigen bw. widerlegen ?
>
> C und D sind Konstanten. Linke Seite und rechte Seite sind
> zwei Stammfunktionen.
>
> Da sind bestimmt geschickte Umformungen gefragt, die ich
> nicht so gut beherrsche.
>
> Gruss
> Igor
Hallo Igor,
die Gleichung scheint richtig zu sein.
Du musst nur zeigen, dass die Differenz
[mm] \bruch{-2}{1+tan(\bruch{x}{2})}-tan( \bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
einen konstanten Wert hat. Mit (-1)
multipliziert heisst das:
[mm] \bruch{2}{1+tan(\bruch{x}{2})}+tan( \bruch{x}{2}-\bruch{\pi}{4})=const
[/mm]
Nun wenden wir auf den Term der rechten
Seite das Subtraktionstheorem für den
Tangens an:
[mm] tan(\alpha-\beta)=\bruch{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)*tan(\beta)}
[/mm]
hier mit [mm] \alpha=\bruch{x}{2} [/mm] und [mm] \beta=\bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] tan(\beta)=tan(\bruch{\pi}{4})=1
[/mm]
Wenn du dies ausführst, kommst du leicht
auf die gewünschte Gleichung !
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Danke für diese elegante Lösung !
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Gruss
Igor
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Zum Schluss müsste man noch die Einschränkung
für x angeben, die sich daraus ergibt, dass der
Nenner des linken Bruches nicht verschwinden
darf:
Die Gleichung gilt nur für diejenigen [mm] x\in\IR [/mm] mit:
[mm] x\not=-\bruch{\pi}{2}+2k\pi\qquad\qquad (k\in\IZ)
[/mm]
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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