symmetrische reele Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mo 15.05.2006 | | Autor: | derLoki |
| Aufgabe | Sei A eine symmetrische reelle n [mm] \times [/mm] n - Matrix.
Zeigen Sie: Es gibt S [mm] \in [/mm] M (n,n, [mm] \IC), [/mm] so dass A = S ^t *S |
Hallo,
wie kann ich das denn zeigen? Wäre wirklich super, wenn ihr mir helfen könntet und würdet.
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Hallo loki,
kennst du den satz über cholesky-zerlegung von positiv definiten, symmetrischen Matrizen? Der geht genau so, nur das die 'wurzel-matrix' $S$ dann reell ist. dadurch, das A nicht positiv sein muß, ist $S$ in deiner aufgabe im allgemeinen eine komplexe matrix (das kannst du dir an 1x1 matrizen klarmachen: steht dort eine negative zahl drin, mußt du $S$ komplex wählen).
Der Existenz-Beweis sollte aber eigentlich so ähnlich gehen....
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 15.05.2006 | | Autor: | derLoki |
Ich weiß jetzt leider immer noch nicht wirklich, wie ich das zeigen kann in diesem Fall. Die von dir erwähnte Choleky-Zerelgung hatten wir auch noch nicht.
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Die Cholesky-Zerlegung besagt, dass es für positiv definite symmetrische Matrizen A eine reelle Matrix S gibt, so dass [mm] A=S^T\cdot{}S.
[/mm]
Das heißt in deinem Fall würdest du komplexe S erhalten. Was aber viel interessanter ist, ist die Tatsache, dass S in dem Fall immer eine obere Dreiecksmatrix ist. Du kannst in deinem Beweis also davon ausgehen, dass S eine komplexe obere Dreiecksmatrix ist. Der Beweis läuft dann per Induktion. Wobei der Induktionsschritt ein Konstruktionsbeweis ist.
Naja, versuch dich mal an der Induktion.
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